Ergodische Gruppenwirkung

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Ergodische Gruppenwirkungen erlauben in der Mathematik die Verwendung von Methoden der Maßtheorie und Theorie dynamischer Systeme in der Gruppentheorie. Anschaulich bedeutet Ergodizität einer Gruppenwirkung auf einem Wahrscheinlichkeitsraum, dass fast alle Punkte des Wahrscheinlichkeitsraumes in einem einzigen Orbit liegen.

Der Begriff verallgemeinert die Begriffe der ergodischen Transformation und des ergodischen Flusses. Man spricht auch von ergodischen dynamischen Systemen.

Definition

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Es sei   ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Wahrscheinlichkeitsraum   und

 
 

eine maßerhaltende Wirkung einer abzählbaren Gruppe, d. h. für jede messbare Menge   und jedes   soll   gelten.

Die Gruppenwirkung heißt ergodisch, wenn für jede  -invariante messbare Menge   gilt:

  oder  .

(Eine Menge   heißt  -invariant, wenn aus   auch   für alle   folgt.)

Eine äquivalente Definition besagt, dass die Wirkung genau dann ergodisch ist, wenn die einzigen  -invarianten Funktionen   die konstanten Funktionen sind. (Eine Funktion heißt  -invariant, wenn für  -fast alle   und alle   die Gleichung   gilt.)

Operatortheoretische Formulierung

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Bezeichne mit   den Hilbert-Raum der quadratintegrierbaren Funktionen, mit   die Algebra der beschränkten Operatoren auf diesem Hilbert-Raum und mit   die ( -fast überall) beschränkten Funktionen. Beschränkte Funktionen   wirken mittels punktweiser Multiplikation als beschränkte Operatoren auf   und die Elemente   der Gruppe   wirken mittels   als beschränkte Operatoren auf  .

Dann lässt sich Ergodizität wie folgt definieren.

Eine Gruppenwirkung ist genau dann ergodisch, wenn es keine mit der Wirkung von   kommutierende Projektion

 

gibt.

Beispiele

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Literatur

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  • Alexander S. Kechris: Global aspects of ergodic group actions. Mathematical Surveys and Monographs. 160. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010, ISBN 978-0-8218-4894-4.
  • Alexander Gorodnik, Amos Nevo: The ergodic theory of lattice subgroups. Annals of Mathematics Studies, 172, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2010, ISBN 978-0-691-14185-5.
  • Bachir Bekka, Matthias Mayer: Ergodic theory and topological dynamics of group actions on homogeneous spaces. London Mathematical Society Lecture Note Series, 269, Cambridge University Press, Cambridge, 2000, ISBN 0-521-66030-0.