In der Mathematik beschreibt der Endlichkeitssatz von Ahlfors die geometrisch endlichen Enden hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten.

Endlichkeitssatz von Ahlfors

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Sei   eine endlich erzeugte Kleinsche Gruppe und   ihr Diskontinuitätsbereich.

Dann hat   endlich viele Zusammenhangskomponenten und jede dieser Zusammenhangskomponenten ist eine kompakte Riemannsche Fläche mit endlich vielen Punktierungen.

Quantitative Version

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Die folgenden beiden Ungleichungen gehen auf Bers[1] zurück.

Sei   eine nicht-elementare Kleinsche Gruppe mit   Erzeugern, dann ist

 

mit Gleichheit nur für Schottky-Gruppen.

Für jede  -invariante Zusammenhangskomponente   gilt

 

mit Gleichheit nur für Fuchssche Gruppen erster Art.

Höhere Dimension

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Für endlich erzeugte, diskrete Untergruppen von  , gilt im Allgemeinen kein Endlichkeitssatz. Gegenbeispiele wurden 1991 von Kapovich und Potyagailo angegeben.[2][3]

Geschichte

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Der Satz wurde 1964 von Ahlfors bewiesen[4] und der Beweis 1967 von Greenberg[5] vervollständigt. Laut Ahlfors hatte Bers zuvor bereits den analogen Satz für Fuchssche Gruppen bewiesen. Einen einfacheren Beweis gab später Dennis Sullivan, wobei er Analogien zur Iteration rationaler Funktionen ausnutzte.

Einzelnachweise

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  1. L. Bers: Inequalities for finitely generated Kleinian groups, Journal d'Analyse Mathématique 18, 23–41, 1967.
  2. M. Kapovich, L. Potyagailo: On absence of Ahlfors' finiteness theorem for Kleinian groups in dimension 3, Topology and its Applications 40, 83-91, 1991.
  3. M. Kapovich, L. Potyagailo: On absence of Ahlfors' and Sullivan's finiteness theorems for Kleinian groups in higher dimensions, Siberian Math. Journ. 32, 61-73, 1991.
  4. L. Ahlfors: Finitely generated Kleinian groups, American Journal of Mathematics 86, 413–429, 1964.
  5. L. Greenberg: On a theorem of Ahlfors and conjugate subgroups of Kleinian groups, American Journal of Mathematics 89, 56–68, 1967.