Der duale Kegel ist ein spezieller Kegel, der jedem Kegel zugeordnet werden kann. Er spielt beispielsweise bei den Dualitätsaussagen der Lagrange-Dualität in der mathematischen Optimierung eine Rolle. Er ist eng mit dem polaren Kegel verwandt.

Definition

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In Hilberträumen

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Gegeben sei ein Hilbertraum   (also ein vollständiger Vektorraum mit Skalarprodukt   ) und ein Kegel   in diesem Vektorraum. Dann heißt die dem Kegel zugeordnete Menge

 

der duale Kegel von  . Anschaulich sind dies dann alle Vektoren, die mit allen Elementen des Kegels einen Winkel von höchstens 90° einschließen. Gelegentlich wird der duale Kegel auch mit   oder   bezeichnet.

Allgemeiner Fall

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Ist   der Dualraum von   und ist   ein Kegel in  , dann ist der duale Kegel definiert durch

 

Dabei bezeichnet   die duale Paarung, das heißt, es gilt  .

Bemerkung

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Teilweise wird schon in unvollständigen Prähilberträumen die erste Form der Definition verwendet, um die entstehenden Mengen als Kegel im Ursprungsraum   auffassen zu können.

Verwandte Begriffsbildungen

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Polarer Kegel

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Analog lässt sich der Begriff des polaren Kegels formulieren:

 

In einem Hilbertraum gilt dann:

 

Das ist die Menge aller Vektoren, die mit allen Kegelelementen einen Winkel von mindestens 90° haben und deshalb gilt  

Für beide Versionen der Definition ergibt sich die Beziehung   im jeweiligen Vektorraum. Dies lässt sich auch als Definition nutzen.

Selbstdualer Kegel

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Ein Kegel heißt selbstdual, wenn   gilt.

Bemerkung

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Gelegentlich wird der duale Kegel wie der polare Kegel definiert und umgekehrt, hier ist die Literatur nicht eindeutig. Es gilt also die Richtung der Ungleichung zu beachten.

Beispiele

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Betrachtet man in   versehen mit dem Standardskalarprodukt den Kegel   mit  , so ist der duale Kegel die rechte Halbebene  . Ist nämlich  , so ist   und dies soll   sein für alle  , daher muss   sein.

Entsprechend der obigen Identität ist dann der polare Kegel die linke Halbebene.

Versieht man den   mit dem Skalarprodukt  , wobei   die symmetrische positiv definite Matrix

 

ist, so ist der duale Kegel

 .

Dies ist die Halbebene, die von der Geraden   begrenzt wird und den ersten Quadranten enthält. Das verwendete Skalarprodukt ist also ausschlaggebend für die Erzeugung des dualen (und polaren) Kegels.

Ein Beispiel für einen selbstdualen Kegel ist  .

Eigenschaften

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Literatur

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