In der kommutativen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Moduln Verallgemeinerungen von Vektorräumen. Jeder Vektorraum hat eine Basis, die seine Dimension bestimmt; im Gegensatz dazu sind Moduln im Allgemeinen nicht frei und besitzen keine Basis. In der kommutativen Algebra gibt es mehrere Konzepte, die den Dimensionsbegriff von Vektorräumen auf Moduln verallgemeinern.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definitionen

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Dimension eines Moduls

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Ist   ein Modul über einem Ring  , so ist seine Dimension definiert als die Krulldimension des Ringes   modulo des Annulators von  :

 

Die Ähnlichkeit zwischen dem Begriff Dimension eines Moduls und dem Begriff Dimension eines Vektorraumes ist nur sprachlicher Natur: Als Modul hat jeder Vektorraum die Dimension 0, da ein Körper die Krulldimension 0 hat.

Länge eines Moduls

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Ist   ein Modul, so ist eine Normalreihe in   eine Kette

 

Eine Normalreihe heißt Kompositionsreihe, wenn

 

ein einfacher Modul ist. (  ist ein einfacher Modul, wenn   und   die einzigen Untermoduln von   sind.)

  heißt von endlicher Länge, wenn es eine Schranke für die Längen aller Normalreihen gibt. Das Maximum der Längen heißt die Länge von   und wird mit

 

bezeichnet.

Der Satz von Jordan-Hölder besagt, dass ein Modul, der eine Kompositionsreihe besitzt, eine endliche Länge hat und dass alle Kompositionsreihen gleich lang sind.

Mü eines Moduls

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Ist   ein endlich erzeugter  -Modul, so wird mit   die Anzahl der Elemente eines kürzesten Erzeugendensystems von   genannt.

Beispiele

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Vektorräume

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Ist   ein  -dimensionaler Vektorraum, dann ist

  •   (seine Dimension als Modul)
  •  
  •  

Reguläre lokale Ringe

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Ist   ein lokaler Ring mit maximalem Ideal  , so ist   genau dann regulär, wenn:

 

Für alle Ringe gilt:

 

Siehe auch

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Literatur

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