Annihilator (Mathematik)

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Es gibt zwei Begriffsbildungen der Mathematik, die mit dem Wort Annullator (oder auch Annihilator) bezeichnet werden.

Annullator im Kontext von Formen

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Der Annullatorraum ist eine Verallgemeinerung des orthogonalen Komplements auf Vektorräumen, in denen der Dualraum nicht über ein Skalarprodukt mit dem Raum selbst identifiziert werden kann.

Definition

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Sei   ein Vektorraum,   der zugehörige Dualraum und   eine Teilmenge von  . Dann heißt

 

der Annullator von  .

Eigenschaften des Annullators

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  •   ist ein Untervektorraum des Dualraums  . Deshalb spricht man auch vom Annullatorraum.
  •  , wobei   der von   erzeugte Unterraum ist.
  • Ist  , so ist  .
  • Ist   endlichdimensional und   ein Unterraum von  , so gilt  . In diesem Fall sind   und der Bidualraum   kanonisch isomorph und es gilt  , wobei   und   miteinander identifiziert worden sind.

Annullator eines Moduls

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Es sei   ein Ring und   ein  -Linksmodul. Dann ist der Annullator von  

 

Man kann den Annullator auch beschreiben als den Kern der Strukturabbildung

 , wobei   die Linksmultiplikation mit   ist.

Der Annullator ist ein zweiseitiges Ideal in  .

Literatur

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