Dichtheitssatz von Kaplansky

mathematischer Satz

Der Dichtheitssatz von Kaplansky (nach Irving Kaplansky) zählt zu den grundlegenden Sätzen der Theorie der Von-Neumann-Algebren. Dabei handelt es sich um eine Reihe von Aussagen über Approximierbarkeit bzgl. der starken Operatortopologie.

Formulierung des Satzes

Bearbeiten

Sei   eine bzgl. der Involution abgeschlossene Unteralgebra der stetigen linearen Operatoren auf dem Hilbertraum  . Wir betrachten auf   die starke Operatortopologie, d. h. die Topologie der punktweisen Normkonvergenz: Ein Netz   konvergiert genau dann gegen 0, wenn   für alle  . Der Abschluss in dieser Topologie, der sogenannte starke Abschluss, werde mit einem Querstrich bezeichnet. In dieser Situation gilt der Dichtheitssatz von Kaplansky:[1]

  • Ist   mit   durch Operatoren aus A approximierbar (bzgl. der starken Operatortopologie), so kann man T auch durch Operatoren aus A mit Norm kleiner gleich 1 approximieren:

 .

  • Ist   selbstadjungiert mit   durch Operatoren aus A approximierbar, so kann man T auch durch selbstadjungierte Operatoren aus A mit Norm kleiner gleich 1 approximieren:

 .

  • Ist   positiv mit   durch Operatoren aus A approximierbar, so kann man T auch durch positive Operatoren aus A mit Norm kleiner gleich 1 approximieren:

 .

  • Ist A eine C*-Algebra mit 1 und der unitäre Operator   durch Operatoren aus A approximierbar, so kann man T auch durch unitäre Operatoren aus A approximieren:

 ,

der Zusatz   ist hier nicht nötig, denn es folgt sogar   für alle Elemente mit  .

Man beachte, dass obige Aussage über selbstadjungierte Operatoren nicht trivial aus der ersten Aussage folgt, denn die Involution ist bzgl. der starken Operatortopologie unstetig: Ist   der Shiftoperator, so ist   in der starken Operatortopologie, aber   konvergiert nicht gegen 0. Es ist klar, dass man in den ersten drei Punkten obigen Satzes die Bedingungen   zu   für jedes   verallgemeinern kann, denn die Multiplikation mit dem Skalar   ist ein Homöomorphismus.

In der Originalarbeit von Kaplansky lautet der Satz:[2]

Sind   und   *-Algebren von Operatoren auf einem Hilbertraum,   und   sei stark dicht in  . Dann ist die Einheitskugel von   stark dicht in der Einheitskugel von  .

Bedeutung

Bearbeiten

Der Dichtheitssatz von Kaplansky stellt für viele Sätze aus der Theorie der C*-Algebren und Von-Neumann-Algebren ein wichtiges technisches Hilfsmittel dar, er ist ein grundlegender Satz in der Theorie der Von-Neumann-Algebren. Gert K. Pedersen schreibt in seinem Buch C*-Algebras and Their Automorphism Groups:

The density theorem is Kaplansky's great gift to mankind. It can be used every day, and twice on Sundays.[3]

(Der Dichtheitssatz ist Kaplanskys großes Geschenk an die Menschheit. Man kann ihn täglich benutzen, und sonntags zweimal.)

Typische Anwendung

Bearbeiten
  • Sei   ein separabler Hilbertraum und   eine bzgl. der Involution abgeschlossene Unteralgebra. Dann kann man jedes   durch eine Folge aus   approximieren.[4]

Zum Beweis sei   eine dichte Folge in  . Ist  , so kann man nach obigem Dichtheitssatz von Kaplansky zu jedem   ein   mit   und   finden. Ist nun  , so gibt zu   ein   mit  . Dann gilt für alle  

 

und daher   in der starken Operatortopologie.

Man sieht an diesem Beweis sehr schön, wie das Argument davon abhängt, dass man die approximierenden Operatoren in der Operatornorm beschränkt wählen kann, und dazu dient der Dichtheitssatz von Kaplansky.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I, 1983, ISBN 0-12-393301-3, Theorem 5.3.5 und Korollare
  2. I. Kaplansky: A theroem on rings of operators, Pacific Journal of Mathematics (1951), Band 43, Seiten 227–232, hier online verfügbar
  3. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups ISBN 0125494505, 2.3.4
  4. W. Arveson: Invitation to C*-algebras, ISBN 0387901760, Korollar zu Theorem 1.2.2