Die Deligne-Kohomologie wird in der Mathematik, speziell der Algebraischen Geometrie, zur Konstruktion sekundärer charakteristischer Klassen genutzt. Sie wurde um 1972 von Pierre Deligne eingeführt (unveröffentlicht).

DefinitionBearbeiten

Sei   eine glatte Mannigfaltigkeit und   die Garbe der komplexwertigen Differentialformen. Für ein   ist der Deligne-Komplex definiert durch

 .

Hierbei ist   der Kokettenkomplex mit   für   und   für  , der Kegel   ist der Abbildungskegel der durch die Inklusionen von Garben   und   gegebenen Kettenabbildung und   bezeichnet den Kettenkomplex mit  .

Die  -te Deligne-Kohomologie ist

 .

Man beachte, dass für unterschiedliche   unterschiedliche Komplexe verwendet werden.

EigenschaftenBearbeiten

Lange exakte SequenzBearbeiten

  passt in eine exakte Sequenz

 .

Hierbei bezeichnet   die geschlossenen Differentialformen und   die De-Rham-Kohomologie.

Weiter ist

 

und die Komposition

 

ist das negative des Bockstein-Homomorphismus der kurzen exakten Sequenz  .

Insbesondere gilt für  -dimensionale, geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeiten:

 .

ProduktstrukturBearbeiten

Es gibt ein eindeutig bestimmtes Produkt  , so dass   zu einem gradierten kommutativen Ring mit folgenden Eigenschaften wird:

  • für jede glatte Abbildung   ist   ein Ringhomomorphismus
  • für alle   ist   ein Ringhomomorphismus
  • für alle   ist   ein Ringhomomorphismus
  • für   und für alle   gilt
 .

Hierbei sind   die Homomorphismen aus der obigen langen exakten Sequenz.

Anwendung: Sekundäre charakteristische KlassenBearbeiten

Komplexe VektorbündelBearbeiten

Jedem komplexen Vektorbündel   mit Zusammenhangsform   über einer Mannigfaltigkeit   kann man (auf für Bündelabbildungen natürliche Weise) Klassen   zuordnen, so dass der Homomorphismus (aus der obigen exakten Sequenz)

 

  auf   abbildet, wobei   die  -te Chernform und   die  -te Chernklasse – deren Bild in   gerade die De-Rham-Kohomologieklasse von   ist – bezeichnet.

Falls   ein flacher Zusammenhang auf einem trivialisierbaren Vektorbündel ist, erhält man

 .

Falls zusätzlich   ist, definiert

 

die Chern-Simons-Invariante von  .

Reelle VektorbündelBearbeiten

Für ein reelles Vektorbündel mit Zusammenhang   definiere

 .

Für eine  -dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit   betrachte den Levi-Civita-Zusammenhang   und definiere die (Riemannsche) Chern-Simons-Invariante durch

 .

  ist eine konforme Invariante.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten