Cantorsches Produkt

Als cantorsches Produkt bezeichnet man in der Analysis ein unendliches Produkt, dessen Glieder aus rationalen Zahlen der Form $1+{\tfrac {1}{q}}$ bestehen, wobei die darin auftretenden Nenner stets natürliche Zahlen sind und zudem immer so beschaffen, dass der Nenner $q_{n+1}$ des $n+1$-ten Gliedes $(n\in \mathbb {N} )$ stets mindestens so groß ist wie das Quadrat des zum vorangehenden $n$-ten Glied gehörigen Nenners $q_{n}$

Die cantorschen Produkte wurden von Georg Cantor in einer Arbeit aus dem Jahre 1869 eingeführt. Wie Cantor darin zeigte, lässt sich jede beliebige reelle Zahl ${\alpha }_{0}>1$ in Form eines cantorschen Produkts darstellen. Grundlegend für Cantors Darlegungen ist dabei die auf Leonhard Euler zurückgehende eulersche Produktgleichung

${\frac {1}{1-x}}=\prod _{n=0}^{\infty }{(1+x^{2^{n}})}$,

welche für alle reellen (und darüber hinaus sogar für alle komplexen) Zahlen $x$ des Betrags $|x|<1$ Gültigkeit hat.

Cantors Satz

Cantors Satz über die cantorschen Produkte lässt sich zusammengefasst wie folgt darstellen:

Sei ${\alpha }_{0}>1$ eine reelle Zahl. Dann gilt:

(I) Zu ${\alpha }_{0}$ lässt sich eine und nur eine Zahlenfolge $(q_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ natürlicher Zahlen so bestimmen, dass ${\alpha }_{0}$ eine Produktdarstellung der Form

${\alpha }_{0}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\tfrac {1}{q_{n}}}\right)$

hat, wobei in dieser Zahlenfolge für jeden Index $n$ die Ungleichung $q_{n+1}\geq {q_{n}}^{2}$ erfüllt ist und zudem nur endlich viele Folgenelemente $q_{n}=1$ sind.

(II) Jedes cantorsche Produkt, also jedes unendliche Produkt der in (I) beschriebenen Form, ist konvergent.

(III) ${\alpha }_{0}$ ist genau dann eine rationale Zahl, wenn in der cantorschen Produktdarstellung gemäß (I) ab einem Index $N$ für alle nachfolgenden Indizes $n\geq N$ stets die Identität $q_{n+1}={q_{n}}^{2}$ besteht.

Algorithmus zur Bestimmung der cantorschen Produktdarstellung

Die Zahlenfolge $(q_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ lässt sich ausgehend von ${\alpha }_{0}>1$ wie folgt induktiv festlegen:

$q_{0}=\left\lfloor {\frac {{\alpha }_{0}}{{\alpha }_{0}-1}}\right\rfloor$ und ${\alpha }_{n}={\frac {{\alpha }_{n-1}}{1+{\frac {1}{q_{n-1}}}}}\;\;\;q_{n}=\left\lfloor {\frac {{\alpha }_{n}}{{\alpha }_{n}-1}}\right\rfloor$ für $n\in \mathbb {N}$

Beispiele

• Formel von Engel:

Für $q\in \mathbb {N}$ gilt stets

${\sqrt {\frac {q+1}{q-1}}}=\prod _{n=0}^{\infty }{(1+{\frac {1}{q_{n}}})}$

mit $q_{0}=q\in \mathbb {N}$ und $q_{n+1}=2\cdot {{q_{n}}^{2}}-1$ $(n=0,1,2,3\ldots )$.

Insbesondere gilt für $q=3$:

${\sqrt {2}}={(1+{\frac {1}{3}})}\cdot {(1+{\frac {1}{17}})}\cdot {(1+{\frac {1}{577}})}\cdot {(1+{\frac {1}{665857}})}\cdot \cdots$

• Weitere Beispiele von Cantor:

${\sqrt {3}}={(1+{\frac {1}{2}})}\cdot {(1+{\frac {1}{7}})}\cdot {(1+{\frac {1}{97}})}\cdot {(1+{\frac {1}{18817}})}\cdot \cdots$

${\sqrt {5}}={(1+{\frac {1}{1}})}\cdot {(1+{\frac {1}{9}})}\cdot {(1+{\frac {1}{161}})}\cdot {(1+{\frac {1}{51841}})}\cdot \cdots$

${\sqrt {15}}={(1+{\frac {1}{1}})}\cdot {(1+{\frac {1}{2}})}\cdot {(1+{\frac {1}{4}})}\cdot {(1+{\frac {1}{31}})}\cdot {(1+{\frac {1}{1921}})}\cdot \cdots$

Anmerkung

• Im ersten Band des Lexikons der Mathematik werden auch endliche Produkte, welche ansonsten die beiden oben genannten Nebenbedingungen erfüllen, als cantorsche Produkte behandelt. Zudem wird für alle $n$ $q_{n}\geq 2$ gefordert.
• Perron erwähnt zu den cantorschen Produkten in den Irrationalzahlen, dass diese sehr rasch konvergieren. Aus ihnen kann man daher mit nur wenigen Rechenschritten sehr gute Näherungsbrüche für alle reellen Zahlen > 1 gewinnen.
• Auf Euler gehen zwei weitere bemerkenswerte eulersche Produktdarstellungen zurück, nämlich die folgenden beiden, die in der modernen Funktionentheorie auf dem Wege über Thetafunktionen hergeleitet werden:

Für jede komplexe Zahl $z$ des Betrages $|z|<1$ gilt:

$\prod _{n=1}^{\infty }{(1-z^{n})}=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{(-1)^{n}\cdot z^{\frac {3n^{2}+n}{2}}}$

sowie

$\prod _{n=1}^{\infty }{(1-z^{n})^{3}}=\sum _{n={1}}^{\infty }{(-1)^{n-1}\cdot (2n-1)\cdot z^{\frac {n^{2}-n}{2}}}$ .

Literatur

• Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity (= Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts. Band 4). John Wiley & Sons, New York 1987, ISBN 0-471-83138-7. 
• Georg Cantor: Zwei Sätze über eine gewisse Zerlegung der Zahlen in unendliche Producte. In: Zeitschrift für Mathematik und Physik. Band 14, 1869, S. 152–158 (gdz.sub.uni-goettingen.de). 
• Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Nachdruck der Ausgabe Berlin 1932. Springer Verlag, Berlin / New York 1980, ISBN 3-540-09849-6 (MR0616083). 
• Oskar Perron: Irrationalzahlen (= Göschens Lehrbücherei: Gruppe 1, Reine und angewandte Mathematik. Band 1). 4. durchgesehene und ergänzte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1960 (MR0115985). 
• Adolf Hurwitz: Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktion. Herausgegeben und ergänzt durch einen Abschnitt über Geometrische Funktionentheorie von R. Courant. Mit einem Anhang von H. Röhrl (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 3). 4., vermehrte und verbesserte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1964. 
• Guido Walz [Red.]: Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Band 1. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2002, ISBN 3-8274-0303-0.