Bialgebra

Bialgebra
berührt die Spezialgebiete
Mathematik Abstrakte Algebra Lineare Algebra Kommutative Algebra
ist Spezialfall von
Algebra Koalgebra
umfasst als Spezialfälle
Hopf-Algebra

Eine Bialgebra hat sowohl die Struktur einer unitären, assoziativen Algebra als auch die dazu duale Struktur einer Koalgebra. Der wichtigste Spezialfall von Bialgebren sind Hopf-Algebren, zu denen auch die Quantengruppen gehören.

Definition

Sei $k$ ein Körper und $B$ sowohl unitäre assoziative Algebra über $k$ als auch Koalgebra über $k$. Dabei bezeichne $\mu _{B}$ die Multiplikation, $\eta _{B}$ die Eins (Einbettung des Körpers in die Algebra), $\Delta _{B}$ die Komultiplikation und $\epsilon _{B}$ die Koeins.

$B$ heißt Bialgebra über $k$ wenn die folgenden äquivalenten Kompatibilitätsbedingungen erfüllt sind.

• Die Komultiplikation $\Delta _{B}$ und die Koeins $\epsilon _{B}$ sind Algebrahomomorphismen.
• Die Multiplikation $\mu _{B}$ und die Eins $\eta _{B}$ sind Koalgebrahomomorphismen.
• Die folgenden Diagramme kommutieren

Dabei ist $\tau _{B,B}:=v\otimes w\mapsto w\otimes v$ die „Flip“-Abbildung, also der kanonische Isomorphismus der Tensorprodukte $V\otimes W$ und $W\otimes V$ angewandt auf $B\otimes B$.

Die Bialgebren bilden zusammen mit den Abbildungen, die sowohl Algebra- als auch Koalgebrahomomorphismen sind, eine Kategorie.

Verallgemeinerung

Algebren und Koalgebren können in beliebigen monoidalen Kategorien betrachtet werden. Für Kompatibilitätsbedingungen ist es jedoch notwendig, dass auch das Tensorprodukt einer (Ko-)Algebra auf natürliche Weise wieder eine (Ko-)Algebra ist, dies bedingt die Existenz einer Zopfung.

Literatur

• Christian Kassel: Quantum Groups (Graduate Texts in Mathematics). Springer-Verlag, ISBN 0-387-94370-6