Quantengruppe

Als Quantengruppe bezeichnet man in der mathematischen Gruppentheorie eine bestimmte Gattung von Hopf-Algebren, nämlich Quantisierungen (d. h. nicht-triviale Deformationen) der einhüllenden Hopf-Algebren von halbeinfachen Lie-Algebren. Alternativ kann man Quantengruppen als Deformationen von der Algebra der regulären Funktionen auf algebraischen Gruppen betrachten.

Der Begriff wurde im Rahmen der International Congress of Mathematicians 1986 in Berkeley von dem ukrainisch-US-amerikanischen Mathematiker Vladimir Drinfeld geprägt. Unabhängig von ihm wurden sie um die gleiche Zeit von dem japanischen Mathematiker Michio Jimbō gefunden.

BeispielBearbeiten

Die einfachste Quantengruppe ist  . Dies ist die Algebra, die von den Variablen  ,  ,   und   erzeugt wird und in der die Relationen

 ,
 ,
 ,
 

gelten.

Die Hopfalgebra-Struktur ist gegeben durch

 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 .

  und   sind folglich schiefprimitiv, und   und   sind gruppenartig.

Universelle einhüllende Algebra  Bearbeiten

  ist in dieser Form nicht definiert, da man dabei durch 0 teilen müsste. Es ist jedoch möglich, die Definition mit Hilfe einer weiteren Variable   so zu formulieren, dass dies möglich ist.

 ,
 ,
 ,
 
 
 
 

In dieser Form ist   wohldefiniert und hängt eng mit der universellen einhüllenden Algebra   zusammen. Es gilt nämlich

 ,

wobei   auf  ,   auf   und   auf   abgebildet wird.

LiteraturBearbeiten

  • Christian Kassel: Quantum Groups (Graduate Texts in Mathematics). Springer-Verlag 1998, ISBN 0-387-94370-6 (englisch)