Hopf-Algebra

Bialgebra mit einem Antipoden
Hopfalgebra

berührt die Spezialgebiete

ist Spezialfall von

Eine Hopf-Algebra – benannt nach dem Mathematiker Heinz Hopf über einem Körper ist eine Bialgebra mit einer -linearen Abbildung, der sog. „Antipode“, , so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Diagramm definierende Eigenschaft der Antipode

Formal in der Sweedler-Notation – benannt nach Moss Sweedler – geschrieben heißt das:

Faltung und AntipodeBearbeiten

Sei   eine Algebra und   eine Koalgebra. Die  -linearen Abbildungen von   nach   bilden eine Algebra mit Produkt  , genannt Faltung, definiert durch

 .

Das neutrale Element in dieser Algebra ist  , denn

 

und entsprechend auch

 .

Für eine Bialgebra   bilden die  -linearen Abbildungen von   nach   auf diese Weise eine Algebra. Die Antipode   ist das zur identischen Abbildung inverse Element in dieser Algebra. Das heißt

 .

Es lässt sich zeigen, dass die Antipode einer Hopfalgebra stets eindeutig ist, und gleichzeitig ein Antialgebrahomomorphismus und ein Anticoalgebrahomomorphismus ist. Mithilfe dieser Tatsache lässt sich der Wert der Antipode auf jedem Element der Hopfalgebra ausrechnen, wenn die Werte der Antipode auf einem Algebraerzeugendensystem bekannt sind.

BeispieleBearbeiten

GruppenalgebraBearbeiten

Ein Beispiel für eine Hopf-Algebra ist die Gruppenalgebra  . Sie wird durch

  für  

und

  für  

zu einer Bialgebra, die Antipode

  für  

macht sie zu einer Hopf-Algebra.

Universelle einhüllende AlgebraBearbeiten

Die universelle einhüllende Algebra   einer Lie-Algebra   ist auf natürliche Weise eine Hopfalgebra. Für ein Element   ist das Koprodukt durch

 

und die Koeins durch

 

definiert.

 

definiert die Antipode.

Gruppenartige und primitive ElementeBearbeiten

Ein Element   einer Hopfalgebra heißt „gruppenartig“, wenn   und  . Für die Antipode gilt dann  .

Ein Element   heißt „primitiv“, wenn  . Daraus folgt, dass   und  .

Ein Element   heißt „schiefprimitiv“, wenn   mit gruppenähnlichen Elementen   und  . Daraus folgt, dass   und  .

LiteraturBearbeiten