AndreasK

Ich habe mal den Artikel zum Tensorprodukt aus folgenden Gründen überarbeitet:

• Das Tensorprodukt sollte nicht über Basiselemente konstruiert werden, da das Produkt am Ende ja auch nicht von der (willkürlichen) Wahl dieser Basis abhängt
• Ich bin der Meinung, dass die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts im Vordergrund stehen sollte und nicht die konkrete Konstruktion als Quotient, soll heissen: Man nehme die universelle Eigenschaft zur Definition und lagere die Konstruktion in einen Satz aus, welcher besagt, dass das Tensorprodukt stets existiert. Der Grund hierfür ist, dass man mit dieser Konstruktion nie wieder konfrontiert wird, sobald man sich einmal vergewissert hat, dass das Tensorprodukt auch tatsächlich existiert. Von da an laufen alle Beweise über die universelle Eigenschaft
• Die Verallgemeinerung von Vektorräumen auf Moduln über kommutativen Ringen mit 1 ist darart zwanglos, dass es vollkommen redundant wäre, diese Fälle separat zu behandeln. Der Fall von allgemeinen Ringen sollte selbstverständlich weiterhin separat behandelt werden

Da die Veränderungen recht drastisch sind, möchte ich aber zunächst die Meinung der bisherigen Autoren einholen, daher steht meine Fassung zunächst nur hier auf der Diskussionsseite.

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Das Tensorprodukt ist ein sehr vielseitiger Begriff der Mathematik: in der linearen Algebra und der Differentialgeometrie dient es der Beschreibung von multilinearen Abbildungen, in der kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie entspricht es einerseits der Einschränkung geometrischer Strukturen auf Teilmengen, andererseits dem kartesischen Produkt geometrischer Objekte.

Dieser Artikel beschreibt die mathematischen und koordinatenfreien Aspekte des Tensorproduktes. Für einzelne Tensoren und Koordinatendarstellungen siehe Tensor.

Tensorprodukt über kommutativen Ringen

Seien R ein kommutativer Ring mit 1 und $V_{1},...,V_{n}$ Moduln über R (z.B. Vektorräume, wenn R ein Körper ist). Dann gibt es bis auf kanonische Isomorphie genau einen Modul T und eine R-multilineare Abbildung $\varphi :V_{1}\times ...\times V_{n}\to T$ derart, dass folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist: Zu jedem weiteren R-Modul W und jeder R-multilinearen Abbildung $f:V_{1}\times ...\times V_{n}\to W$ gibt es genau eine R-lineare Abbildung ${\tilde {f}}:T\to W$ derart, dass $f={\tilde {f}}\circ \varphi$ gilt. Man nennt diesen Modul T das Tensorprodukt der Moduln $V_{1},...,V_{n}$ und schreibt $V_{1}\otimes ...\otimes V_{n}$ für T, bzw. $V_{1}\otimes _{R}...\otimes _{R}V_{n}$, wenn man deutlich machen will, über welchem Grundring das Tensorprodukt gebildet wird. Für Elemente $v_{i}\in V_{i},i\in \{1,...,n\}$ schreibt man $v_{1}\otimes ...\otimes v_{n}$ statt $\varphi (v_{1},...,v_{n})$. Die Elemente des Tensorprodukts heissen Tensoren.

Die Abbildung $\varphi$ ist i.a. nicht surjektiv, somit lässt sich nicht jeder Tensor in der Form $v_{i}\otimes ...\otimes v_{n}$ darstellen. Die Elemente des Bildes von $\varphi$, also jene Tensoren, welche eine Darstellung in der Form $v_{i}\otimes ...\otimes v_{n}$ besitzen, heissen auch zerlegbare Tensoren. Es gilt: Die zerlegbaren Tensoren erzeugen das Tensorprodukt.

Da $\varphi :(v_{1},...,v_{n})\mapsto v_{1}\otimes ...\otimes v_{n}$ multilinear ist, gelten für zerlegbare Tensoren im Falle n = 2 folgende Rechenregeln:

• $(v'+v'')\otimes w=v'\otimes w+v''\otimes w$
• $v\otimes (w'+w'')=v\otimes w'+v\otimes w''$
• $(\lambda v)\otimes w=\lambda \cdot (v\otimes w)=v\otimes (\lambda w)$    ($\lambda$ ein Element des Grundrings R).

Diese Regeln sehen aus wie Distributivgesetze bzw. Assoziativgesetze; auch daher der Name Tensorprodukt. Entsprechende Regeln erhält man in gleicher Weise auch für n > 2.

Es gilt jedoch nicht $v\otimes w=w\otimes v$ in $V\otimes W$, selbst wenn V = W ist; andernfalls gehören sie sogar unterschiedlichen Moduln an.

Konstruktion des Tensorprodukts

Um sich davon zu überzeugen, dass zu gegebenen Moduln $V_{1},...,V_{n}$ das Tensorprodukt $V_{1}\otimes ...\otimes V_{n}$ stets existiert, kann man es wie folgt konstruieren: Man bildet zunächst den von den Basiselementen $\{e(v_{1},...,v_{n})|v_{i}\in V_{i}\}$ frei erzeugten Modul ${\tilde {T}}$ ($e(...)$ hat dabei keine tiefere Bedeutung, sondern bedeutet nur, dass es zu jedem Element von $V_{1}\times ...\times V_{n}$ in diesem Modul genau ein Basiselement gibt) sowie den Untermodul $U\subseteq {\tilde {T}}$, welcher von allen Elementen der Form

• $e(v_{1},...,v_{j-1},v_{j}+v_{j}',v_{j+1},...,v_{n})-e(v_{1},...,v_{j-1},v_{j},v_{j+1},...,v_{n})-e(v_{1},...,v_{j-1},v_{j}',v_{j+1},...,v_{n})$
• $e(v_{1},...,v_{j-1},\lambda v_{j},v_{j+1},...,v_{n})-\lambda e(v_{1},...,v_{j-1},v_{j},v_{j+1},...,v_{n})$ mit $\lambda \in R$

erzeugt wird. Dann setzt man $T={\tilde {T}}/U$ und definiert eine Abbildung $\varphi :V_{1}\times ...\times V_{n}\to T$ durch $(v_{1},...,v_{n})\mapsto {\overline {e(v_{1},...,v_{n})}}$ (wobei ${\overline {e(v_{1},...,v_{n})}}$ die Restklasse von $e(v_{1},...,v_{n})$ in T/U bezeichne). Man überzeugt sich schließlich davon, das der gewonnene Modul T zusammen mit der Abbildung $\varphi$ die geforderten Eigenschaften des Tensorprodukts erfüllt.

Tensorprodukt freier Moduln

Sind $V_{1},...,V_{n}$ freie Moduln (z.B. Vektorräume) mit Basen $\{e_{j}^{(i)}|j\in J_{i}\}$, wobei J_i für i=1,...,n geeignete Indexmengen seien, so ist auch $V_{1}\otimes ...\otimes V_{n}$ wieder ein freier Modul mit Basis $\{e_{j_{1}}^{(1)}\otimes ...\otimes e_{j_{n}}^{(n)}|j_{i}\in J_{i}\forall i\}$. Sind insbesondere $V_{1},...,V_{n}$ endlich erzeugt vom Rang $m_{1},...,m_{n}$, hat $V_{1}\otimes ...\otimes V_{n}$ den Rang $m_{1}\cdots m_{n}$ (im Falle von Vektorräumen ersetze man Rang durch Dimension).

Eigenschaften des Tensorprodukts

• $V\otimes W$ und $W\otimes V$ sind kanonisch isomorph
• $V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}$, $(V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}$ und $V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})$ sind kanonisch isomorph
• $(\bigoplus _{i\in I}V_{i})\otimes W$ und $\bigoplus _{i\in I}(V_{i}\otimes W)$ sind kanonisch isomorph

Tensorprodukt von Abbildungen

Sind $f_{i}:V_{i}\to W_{i}$ für i=1,...,n R-lineare Abbildungen, so gibt es genau eine R-lineare Abbildung $f:V_{1}\otimes ...V_{n}\to W_{1}\otimes ...\otimes W_{n}$ derart, dass $f(v_{1}\otimes ...\otimes v_{n})=f_{1}(v_{1})\otimes ...\otimes f_{n}(v_{n})$ für alles $v_{i}\in V_{i}$ gilt. Man schreibt für diese Abbildung auch $f_{1}\otimes ...\otimes f_{n}$.

Beispiele

• Ist R ein kommutativer Ring mit 1, I ein Ideal und M ein R-Modul, so ist

$M/IM=M\otimes _{R}R/I.$

• $\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} \otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Z} /m\mathbf {Z} =\mathbf {Z} /\mathrm {ggT} (m,n)\mathbf {Z}$
• Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist

$R[X]\otimes _{R}R[Y]=R[X,Y].$

• Ist R ein kommutativer Ring, und sind A und B assoziative R-Algebren, so ist

$A\otimes _{R}B$

wieder eine assoziative R-Algebra; die Multiplikation ist gegeben durch

$(a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=(a_{1}a_{2})\otimes (b_{1}b_{2}).$

Anwendung: Wechsel des Grundrings

Sei S eine R-Algebra und V ein R-Modul, dann kann man $V_{S}=V\otimes _{R}S$ bilden und auf $V_{S}$ eine S-Modulstruktur erklären via

$\lambda \cdot (v\otimes \mu ):=v\otimes (\lambda \mu )\qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ v\in V,\lambda ,\mu \in S$

Dies nennt man auch den kovarianten Grundringwechsel von R nach S. Ist V ein freier R-Modul, so ist der Rang von V als R-Modul gleich dem Rang von $V_{S}$ als S-Modul: ist {e_i} eine R-Basis von V, so bildet die Menge

$\{e_{i}\otimes 1\}$

eine S-Basis von V_S.

Tensorprodukt über einem beliebigen Ring

Die Grundkonstruktion

Es sei R ein Ring, M ein R-Rechtsmodul und N ein R-Linksmodul. Dann ist die abelsche Gruppe $M\otimes _{R}N$ definiert als der Quotient der freien abelschen Gruppe in den Erzeugern $m\otimes n$ (als Symbole) für alle Elemente m von M und n von N nach der Untergruppe, die von

• $(m_{1}+m_{2})\otimes n-m_{1}\otimes n-m_{2}\otimes n\qquad (m_{1},m_{2}\in M;n\in N)$
• $m\otimes (n_{1}+n_{2})-m\otimes n_{1}-m\otimes n_{2}\qquad (m\in M;n_{1},n_{2}\in N)$
• $mr\otimes n-m\otimes rn\qquad (m\in M;n\in N;r\in R)$

erzeugt wird.

Spezialfälle

• Ist M ein S-R-Bimodul mit einem weiteren Ring S, so ist

$M\otimes _{R}N$

ein S-Linksmodul.

• Ist R kommutativ, so entspricht diese Konstruktion gerade der oben angegebenen
• Ist A eine R-Algebra, so ist

$A\otimes _{R}N$

ein A-Linksmodul; die Moduloperation ist gegeben durch

$b(a\otimes n)=(ba)\otimes n$ für a, b in A.

Kategorielle Eigenschaften

Verschiedene Varianten des Tensorproduktes besitzen rechtsadjungierte Funktoren:

• Ist R ein Ring, M ein R-Rechtsmodul, N ein R-Linksmodul und P eine abelsche Gruppe, so gilt:

$\mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} }(M\otimes _{R}N,P)=\mathrm {Hom} _{R}(M,\mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} }(N,P));$

dabei ist Hom_Z(N,P) ein R-Rechtsmodul via

$(f\cdot r)(n)=f(rn)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ f\in \mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} }(N,P),r\in R,n\in N.$

• Ist R ein Ring, S eine R-Algebra, M ein R-Linksmodul und N ein S-Linksmodul, so gilt:

$\mathrm {Hom} _{S}(S\otimes _{R}M,N)=\mathrm {Hom} _{R}(M,N)$.

• Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement und M, N, P drei R-Moduln, so gilt:

$\mathrm {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,P)=\mathrm {Hom} _{R}(M,\mathrm {Hom} _{R}(N,P))$.

Insbesondere ist das Tensorprodukt ein rechtsexakter Funktor.

Das Tensorprodukt ist das Koprodukt (für endlich viele Objekte) in der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement.

Beispiele

• Ist R ein Ring, I ein zweiseitiges Ideal und M ein R-Linksmodul, so ist

$M/IM=M\otimes _{R}R/I.$

• Lokalisierungen von Moduln sind Tensorprodukte mit den lokalisierten Ringen, also ist beispielsweise

$\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} =\mathbf {Q} .$

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-- AndreasK 17:39, 11. Aug 2005 (CEST)

Ich habe mal Deine grundsätzlichen Bemerkungen nach Diskussion:Tensorprodukt kopiert, Antwort und Diskussion besser dort.--Gunther 17:55, 11. Aug 2005 (CEST)