Unzulänglichkeiten und Fehler von Mathematica und Maple

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Computeralgebra-Systeme wie Mathematica und Maple können niemals den Menschen als Rechner und Denker ersetzen, da sie nur das können was ihnen ein Mensch implementiert hat. Hierbei treten auch Unzulänglichkeiten und Fehler auf. Wesentlich ist daher die Erkenntnis, dass man stets beide Systeme ergänzend einsetzen sollte. Folgendes Beispiel mag dies verdeutlichen.

Mathematica 9.0 hat Schwierigkeiten den Realteil von   zu extrahieren.

Re[Exp[Sqrt[I]]] liefert die Frage zurück. Maple 12 gibt ohne Schwierigkeiten das richtige Ergebnis an:

Re(exp(sqrt(I))) liefert exp(sqrt(2)/2) cos(sqrt(2)/2)

Dieses Teilproblem zeigt sich beispielsweise beim Evaluieren des Integrals:

Integrate[x^2*Cos[x]/(1+x^4),{x,0,Infinity}] zu (-1)^(1/4) (-I + Exp[I Sqrt[2]]) Pi / (4 Exp[(-1)^(1/4)])

Mathematica kann hier weder Real- noch Imaginärteil extrahieren. Eine mumerische Auswertung mittels Operator N[%,50] zeigt, dass der Imaginärteil tatsächlich gegen 0 konvergiert. Ein ständiges Ärgernis dieses Operators ist jedoch die zwanghafte Rundung mit Rauschen der nachfolgenden Stellen.

Maple verwendet ein anderes Integrationsverfahren mittels Spezieller Funktionen. Hier gelingt zwar eine Extraktion des Realteils, aber die Zusammenfassung mehrerer Werte mit sinh gelingt nicht.

Hier hilft also nur Papier und Bleistift weiter. Die Extraktion per Hand des Realteils und des verschwindenden Imaginärteils aus obigem Mathematica-Ergebnis ergibt:

 

Beide Integrale ergeben sich mittels Residuensatz aus den vier komplexen Polstellen des Nenners. Bemerkenswert ist, dass die Eulersche Zahl   aus dem cos des Zählers durch diese Polstellen herausgequetscht wird. Die Kraft einer (komplexen) Polstelle ist so stark, dass sie den Wert des Integrals über ein reelles Integral beeinflusst.

Auch bei den beiden folgenden Integralen gelingt es den Computeralgebra-Systemen nicht immer einen kompakten symbolischen Wert zu liefern:

 

Mathematica 9.0 gelingt das erste Integral tadellos, beim zweiten gelangt es mit Hilfe spezieller Fubktionen zu einem sehr umfangreichen komplexen Ausdruck, dessen Real- und verschwindender Imaginärteil nicht extrahiert werden können. Maple scheitert bei beiden Integralen am Zusammenfassen von  .


Zunächst betrachten wir das einfachere Integral:

 

Wobei dieses Integral durch Integration der Hilfsfunktion   über den unendlichen Halbkreis   der oberen komplexen Halbebene um die Polstelle   entsteht. Der Anteil über den oberen Kreisrand verschwindet.

 

Nun verschwindet der Imaginärteil dieses Integrals, da der betreffende Integrand ungerade ist und es verbleibt:

 


Nun betrachten wir das verwandte Integral:

 

Wie eben erhalten wir:

 

Nun verschwindet der Realteil dieses Integrals, da der betreffende Integrand ungerade ist und es verbleibt:

 


Die eingangs genannten Integrale ergeben sich ähnlich elementar durch Integration der Hilfsfunktion   über den oberen unendlichen Halbkreis   um die Polstellen   und  , wobei die komplexen Quadratwurzeln hier als Festwerte und nicht als Hauptwerte notiert und benutzt werden.

 

Für die Residuen ergibt sich wegen  :

 

 

Zum Zusammenfassen der Residuen benutzen wir die Rechenregel   und die konjugative Durchschleifregel  

 

 

Da der Integrand gerade ist, ergibt sich hieraus sofort die Behauptung.


Die ähnlichen Integrale mit den Momenten   ergeben sich ganz ähnlich:


 

Für die Residuen ergibt sich wie oben:

 

 

Zum Zusammenfassen der Residuen benutzen wir die Rechenregel  

 

 

Da der Integrand gerade ist, ergibt sich hieraus sofort die Behauptung.


 

Für die Residuen ergibt sich wie oben:

 

 

Zum Zusammenfassen der Residuen benutzen wir die Rechenregel  

 

Da die Summe der Residuen reell ist, muss auf der linken Seite der reelle Anteil des Integrals verschwinden (was aber wegen des ungeraden Integranden auch so klar ist). Somit ergibt ein Vergleich der verbleibenden Imaginärteile:

 

Da der Integrand gerade ist, ergibt sich hieraus sofort die Behauptung.


 

Für die Residuen ergibt sich wie oben:

 

 

Zum Zusammenfassen der Residuen benutzen wir die Rechenregel  

 

Da die Summe der Residuen reell ist, muss auf der linken Seite der reelle Anteil des Integrals verschwinden (was aber wegen des ungeraden Integranden auch so klar ist). Somit ergibt ein Vergleich der verbleibenden Imaginärteile:

 

Da der Integrand gerade ist, ergibt sich hieraus sofort die Behauptung.

Additionstheoreme und das Problem von Stormer-Grave

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Einleitung. Betrachten wir die Formel von John Machin   bzw.  act 1 = 4act 5 - act 239   von 1706, so stellt sich die Frage nach weiteren solchen Formeln und nach Methoden diese konstruktiv oder verifizierend zu gewinnen. Durch welche Überlegungen und Schritte Machin zu dieser Formel gelangte, ist nicht bekannt. Jedenfalls war er in der Lage die Formel zu verifizieren bzw. das zweite Glied nach Ansetzen des ersten Gliedes zu bestimmen (siehe unten). Möglicherweise hat er bei Betrachtung des arctan-Additionstheorems eine solche Formel geahnt.
Es gibt zwei vollkommen unterschiedlcihe Methoden diese Formeln zu behandeln: die klassische Methode mittels Additionstheoreme und eine modernere von Gauß entwickelte, die im Ring der Gaußschen Zahlen   arbeitet. Interessante Möglichkeiten ergeben sich durch Kombination beider Methoden.

Additionstheoreme. Aus den Additionstheoremen für sin und cos ergibt sich:       bzw.       mit   ab < 1
Hieraus folgt mit a = 1/ x und b = 1/ y

 

Für y = -x-1 ergibt sich die polynomiale Expansionsformel

 

Hieraus ergeben sich die beiden Gleichungen

    bzw.    

deren Subtraktion bzw. Addition insgesamt die drei Gleichungen liefert:

 

Um größere Argumente zu bekommen, ist die kubische Expansions-Formel hilfreich (Quelle fehlt!)

 

Beweis. Zunächst gilt

 

also

 

Die Formel von Machin lässt ähnlich mit etwas Bruchrechnung verifizieren:

 

Nach Anwendung der kubischen Expansions-Formel ergibt sich die Formel von Samuel Klingenstierna (1730)

 

Methode von Gauß

Exkurs Schöne Formeln. Als ich in Göttingen Mathematik studierte, stellte ein Professor während der Vorlesung die unerwartete Frage: Was ist eine schöne Formel?. Diese Problematik war mir bisher ansatzweise auch aufgefallen. Ohne bisher explizit und systematisch darüber nachgedacht zu haben, erschien mir die Frage überfällig, aber schwierig. Das Thema ist in der Literatur dünn besetzt. Oft wird die Eulersche Identität   angeführt. Gespräche mit Mathematikern, die sich auf dem Gebiet besser als andere auskennen, führen auf Arbeiten von Max Bense. Aber auch hier ist die Frage - wenn überhaupt - nur ansatzweise behandelt. Dagegen ist das Thema Schönheit aus allgemneiner Sicht besser untersucht. So ie auch das Kunstverständnis bei den verschiedenen Menschen auseinandergeht, so ist auch in dieser FRage keine volle Übereinstimmung zu erzielen. Es sollen hier nur einige persönliche Kriterien angeführt werden.
1. Die Formel ist mathemnatisch richtig und bewiesen.
2. Die Formel enthält ein Minimum an mathematischem Gehalt. Z.B. erfüllt a = b-1 dies nicht, jedoch (x+1)(x-1) = x²-1)
3. Die Formel muß interessant sein.
4. Die Formel stellt einen unerwarteten Zusammenhang her.

Schülerübungen

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Das folgende auf dieser Baustellenseite sind Schüler-Übungen. Die Ergebnisse sind demzufolge noch fehlerhaft und unbefriedigend. So bestehen erhebliche Mängel in der Mathematischen Strenge und Mathematischer Eleganz. Nach einer angemessenen Zeit wird nachgebessert. Die Schüler fangen jedoch wesentlich mehr Dinge an, als sie jemals vollenden können. Die Kunst der Mathemathematik besteht darin, sich auf angehbare UND durchführbare Dinge zu konzentrieren. Extrem schwierige Dinge, oder sogar ungelöste Probleme sollten nur angegangen werden, wenn einerseits das erforderliche Grundwissen mit dem zugehörigen Übungspensum vorhanden ist UND die erforderliceh Zeit und Kraft aufgebracht werden kann. Sonst besteht die Gefahr sich zu verzetteln und Zeit zu vertun, die dann für die Erarbeitung Grundwissens mit dem zugehörigen Übungspensum fehlt. --Skraemer (Diskussion) 09:46, 22. Okt. 2013 (CEST)

Integrale über periodische Funktionen

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Satz 1: Sei   eine gerade periodische Funktion mit Periode p dann gilt:   bzw.  

Beweis:

Hier dient die Methode der Substitution. Es wird   im rechten Term eingesetzt. Es ergibt sich somit,
wenn die Verschiebung der Grenzen eingehalten wird:  
Zu beachten ist weiterhin   da auch das Differential mit substituiert werden muss.
Da es sich hierbei um eine periodische Funktion handelt wird daraus  
Mit Vertauschung der Integrationsgrenzen und Beachtung der Vorgabe als gerade Funktion ergibt sich tatsächlich   womit der Satz bewiesen ist.
Der zweite Teil folgt nun unmittelbar aus dem ersten Teil mittels Intervalladditivität:  

Satz 2: Sei   eine ungerade periodische Funktion mit Periode p dann gilt:   bzw.  

Beweis:

Es wird dieselbe Methode wie für gerade Funktionen angewandt. Einziger Unterschied im Vorgehen liegt nur im Aspekt der
Vorgabe der ungeraden Funktion. Verschiebung um p ergibt wieder  
Durch Herausziehen des Vorzeichens und Vertauschen der Grenzen erscheint das Gesuchte  
womit auch dieser Satz bewiesen ist.
Teil zwei ergibt sich analog wie in Satz 1:  


Erweiterung. Interessant ist, dass sich die Perioden noch einmal halbieren lassen. Es gilt:
Satz 3. Sei   eine symmetrische Funktion zur Achse  , d.h.   dann gilt:  

Beweis. Es gilt wieder aufgrund der Intervalladditivität

 

Das bedeutet es muss nur gezeigt werden, dass  
dem anderen Integral   entspricht. Es wird  
substituiert, womit sich ergibt

 

und der Satz ist bewiesen.


Anwendung. Es ist bemerkenswert, dass sich gewisse bestimmte Integrale allein durch Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft exakt berechnen lassen, ohne dass dazu eine Stammfunktion bestimmt werden muss (in vielen Fällen wäre dies mit den elementaren Funktionen auch gar nicht möglich).

Satz 5 (Euler). Es gilt  

Beweis.

Der erste Teil ergibt sich unmittelbar wegen der Symmetrieeigenschaft zur Achse   aus Satz 3.
Der zweite Teil gelingt mittels der Verdopplungsformel  
und der Rückführung  
Vorab sei eines zum besseren Verständnis angemerkt (Eine Anmerkung kann kein Bestandteil eines Beweises sein): Da   und   im Intervall
  bis   die selben Werte annehmen, nur in umgekehrter Reihenfolge, gilt folgende Gleichung:

  richtig, jedoch muss das formal bewiesen werden, z.B. rücklaufende Substuitution  

woraus sich folgern lässt: . sehe nicht, wie und woraus das folgt

Mit der Substitution   also   erhalten wir:

 
 
 
 
 
 


Durch partielle Integration erhalten wir:
Corollar. Es gilt  
Somit ist das bei x=0 uneigentliche Integral aus Satz 3 auf ein eigentliches zurückgeführt, womit dessen Konvergenz gezeigt ist.
Satz.

 
 

Beweis. ...

 

Ausblick. Ohne Beweis sei erwähnt, dass sich die Teilintegrale aus dem Beweis von Satz 5 mit Hilfe der Catalanschen Konstanten G exakt angeben lassen:

 
 

In der Summe fällt die Catalansche Konstante heraus und es ergibt sich wieder das Integral aus Satz 3.

Riemannsche Zetafunktion

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Satz.  
Beweis: Mit dem Polylogarithmus. Es gilt ja   für alle   und   für alle s in  .
Weiterhin gilt für alle s die Identität  .
Weil nun   ist ergibt sich:   woraus folgt  . Jetzt nach Zeta umstellen, ergibt   woraus folgt  .

Satz.(Euler, 1736)

 

Beweis. Der Cotangens kann auf zwei Arten in Potenzreihen entwickelt werden, eine Möglichkeit liefert das Sinusprodukt.

  was durch logarithmieren auf
  führt. Dann bringt uns die Differentiation
 

Nun entwickeln wir die Glieder dieser Partialbruch-Reihe in eine geometrische Reihe:

 

Wir erhalten also

 

Jetzt braucht es eine weitere Darstellung für den Cotangens.

  und setzen für Sinus und Cosinus die exponentielle Form ein. Weil
  ergibt sich
  und   woraus wir erhalten
  Setze nun z=2ix
 

Der letzte Ausdruck ist gerade die Funktion, die die Bernoulli-Zahlen generiert und wegen dem   fällt   weg.
Weil damit nur die geraden Potenzen übrig bleiben kann es auch so geschrieben werden:

 

Durch Gegenüberstellung erhalten wir dann endlich:

 

Und der Koeffizientenvergleich bringt obiges Ergebnis. Die Zahl n im Argument repräsentiert alle natürlichen Zahlen und   die Bernoullischen Zahlen. Formal hat die Formel auch noch Bestand für  , da   ist. Was jetzt noch fehlt sind an sich zwei Dinge: Zum einen, mit dem sogenannten "Herglotz-Trick" zu zeigen, dass die Funktionen   und   übereinstimmen und zum anderen der gewonnenen Generalformel für   diejenige für   gegenüberzustellen, was dann durch die Partialbruchzerlegung des Tangens und den Euler-Zahlen zustande kommt. Analog zu den Bernoulli-Zahlen sind diese definiert durch

 .

Gammafunktion

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Betractet man die Eulersche Ergänzungsformel für die Gammafunktion, so lässt sich eine Identität gewinnen.

  wird auf beiden Seiten mit dem Argument multipliziert.
 
  (Funktionalgleichung)
 
 
  (Substitution)
 


Bestimmte Integrale

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Ich fand für eine gewisse Klasse bestimmter Integrale die allgemeine Lösung:

  wobei   die Dirichletsche Betafunktion bezeichnet. Der erste Spezialfall wäre dann
 

Diese Formel gilt auf jeden Fall für alle ganzen k grösser 1.
Desweiteren ergab sich

 

Dann sind wieder schöne Spezialfälle

  wobei  , die Apery-Konstante ist.
 

Ausserdem fand ich eine weitere bemerkenswerte Identität:

 
 
 

Diese beiden Integrale veranlassen einen sich mit dem allgemeinen   zu beschäftigen, um Beziehungen zum Momentenintegral aufzuzeigen. Mathematica 9.0 liefert das folgende bemerkenswerte Integral symbolisch:

 

Beweis.

 
 

Es folgt also

 

Durch die PBZ   lässt sich diese Summe in drei Teile aufspalten

 

Maple kann dies nicht symbolisch auswerten. --Skraemer (Diskussion) 23:15, 26. Aug. 2013 (CEST)

Satz.

 

Beweis. Mittels Parameterintegrale.

Das Integral   und das Momentenintegral  

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Das bei x=0 uneigentliche Integral   ergibt sich durch partielle Integration direkt aus der Catalansche Konstante:

  also  

  ergibt sich auf ähnliche Weise. Durch Entwicklung des Integranden in eine Potenzreihe um x=0 ergibt sich vermöge gleichmäßiger Konvergenz im Konvergenzkreis durch gliedweise Integration zunächst das Integral  

Nun ergibt sich durch partielle Integration   Somit folgt  .


Allgemeiner gilt folgender
Satz. Für n=0,1,2,… gelten:   und   mit den rationalen Partialsummen   und  

Anmerkung. Wegen   und   folgt   mit einem sehr langsamen Konvergenzverhalten. Hier die ersten Werte:

n 0 1 2 3 4 5 6 7
                 
                 

Der Satz wurde zunächst experimentell mithilfe von Mathematica gefunden und dann bewiesen. --JWmuench (Diskussion) 19:54, 29. Aug. 2013 (CEST) und --Skraemer (Diskussion) 21:36, 1. Sep. 2013 (CEST)

Beweis. Zuerst betrachten wir den geraden Fall  . Aus der Teleskopreihe   ergibt sich mit   für x die Reihe

 


bzw.

(T1)  

Durch Aufblasen ergibt sich:

(A1)  

Mit Hilfe der obigen Teleskopreihe (T1) und dem Anfangswert   ergibt sich:

 

Das verbleibende Integral lässt sich durch partielle Integration bestimmen

(G)  

somit ergibt sich für  

 

Nun betrachten wir den ungeraden Fall  . Multiplizieren wir (T1) und (A1) mit x ergibt sich:

(T2)  
(A2)  

Mit Hilfe der obigen Teleskopreihe (T2) und dem Anfangswert   ergibt sich:

 

Das verbleibende Integral ist bereits mit (G) für   bestimmt, somit folgt:

 

...

Ein Bruder des Momentenintegrals wäre  
Für die Anfangswerte gilt:   bzw.  
Addiert man nun "M(0)" und "K(0)" so ergibt sich der exakte Wert für eine Teilreihe der riemannschen Zetafunktion an der Stelle 2.

 

Die Integrale   und  

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Ausgangspunkt bilden die beiden Integrale  , die sich direkt durch gliedweise Integration des Integranden ergeben.

 


Nullstellenordnung

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Def. Eine Stelle x=a heißt Nullstelle der Ordnung n der Funktion f(x) genau dann wenn es eine Funktion g(x) mit g(a)≠0 gibt mit  

Satz 1. Sei x=a eine Nullstelle der Ordnung n von f(x), dann hat f'(x) bei x=a eine Nullstelle der Ordnung n-1.

Bew. Da x=a eine Nullstelle der Ordnung n von f(x) so folgt:

  mit  
 
 
 

mit  .
Wegen   folgt die Behauptung. --Skraemer (Diskussion) 17:25, 4. Okt. 2013 (CEST)

Kettenbrüche

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In seiner "introductio in analysin infinitorum" (1748, 18. Kapitel) gibt Euler ein Verfahren, um eine alternierende Reihe in einen Kettenbruch zu entwickeln und erhält (in original altmodischer Schreibweise)

 .

Unter Verwendung der Leibniz-Reihe lässt sich dann gewinnen

 .

Dieser regelmässige Kettenbruch wurde bereits vorher auf andere Weise von Lord W. Brouncker hergeleitet.

Konvergenzbeschleunigung

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Es gibt zahlreiche Verfahren, die die Konvergenz einer Reihe   beschleunigen. Hierbei soll die beschleunigte Reihe schneller gegen gegen denselben Wert der Reihe s konvergieren. Ein naheliegndes Verfahren liegt darin, von der betreffenden Reihe eine Reihe mit ähnlicher Konvergenzgeschwindigkeit aber bekannter Summe abzuziehen. --Skraemer (Diskussion) 18:26, 7. Nov. 2013 (CET)

Quadratische Zahlkörper

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Satz. Sei   mit   quadratfrei und   mit  . Dann lässt sich die Quadratwurzel aus   genau dann ziehen, wenn die zugehörige Diskriminante   eine Quadratzahl in   ist. Es gilt dann  , wobei   und   die Lösungen der quadratisichen Resolvente   sind. Da   quadratfrei, gelingt die eindeutige Zuordnung der beiden Lösungen weil dann   kein Quadrat in   ist (dagegen ist   stets ein Quadrat).

Beweis. Es sind   gesucht, sodass   d.h.  . Durch Koeffizientenvergleich ist dies zu dem quadratischen Gleichungssystem äquivalent:

 
 

Durch quadrieren und Multiplizieren der zweiten Gleichung mit   ist das System äquivalent zu

 
 

D.h.   und   sind nach dem Vieta'schem Wurzelsatz Lösungen der quadratischen Resolvente  . Somit ist das System offenbar genau dann lösbar, wenn die zugehörige Diskriminante   eine Quadratzahl in   ist. q.e.d.

Beispiel 1. Es soll die Quadratwurzel aus   gezogen werden.
Wegen   ist die Quadratwurzel im quadratischen Zahlkörper ausziehbar. Die quadratische Resolvente   hat offenbar die Lösungen 9 und 32. Da 32 keine Quadratzahl in  , folgt   und   also   und   und somit  .

Beispiel 2. Ohne Rechnung erkennt man sofort, dass   für   nicht ausziehbar ist.

Das Ausziehen der Kubikwurzel ist wesentlich schwieriger und gelingt mit Hilfe der Cardanischen Formel. Siehe:
Karl Reinhard Müller. Ueber die Ausziehung der Cubikwurzel aus Binomien und Anwendung derselben auf die Cardanische Regel. Zur Prüfung der Zöglinge im Pädagogium in Marburg. Marburg: Krieger 1825. (dort online). --Skraemer (Diskussion) 17:57, 5. Jan. 2014 (CET)