JWmuench

Verallgemeinerung der Mittag-Leffler-Funktion

Einige sinnvolle Verallgemeinerungen für die Mittag-Leffler-Funktion könnten folgendermaßen aussehen:

$\mathrm {E} _{\alpha ,\beta ,\gamma }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\gamma x)^{n}}{\Gamma (\alpha x+\beta )}}$

$\mathrm {E} _{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\gamma x+\delta -1)^{n}}{\Gamma (\alpha x+\beta )}}$

$\mathrm {E} _{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;s}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\gamma x+\delta -1)^{n}}{\Gamma (\alpha x+\beta )(n+1)^{s-1}}}$

$\mathrm {E} _{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;k,s}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\gamma x+\delta -1)^{n}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(\log \Gamma (\alpha x+\beta ))}{\alpha \Gamma '(\alpha x+\beta )(n+1)^{s-1}}}$

$\mathrm {E} _{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;k,l,s}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n+1)(\gamma x+\delta -1)^{n}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(\log \Gamma (\alpha x+\beta ))}{\alpha \Gamma '(\alpha x+\beta )(ln+1)^{s}}}$

$\mathrm {E} _{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;k,l,m,s}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n+1)(\gamma x+\delta -1)^{n}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(\log \Gamma (\alpha x+\beta ))}{\alpha \Gamma '(\alpha x+\beta )(ln+m)^{s}}}$

Dabei ist schrittweise von der Grunddefinition ausgegangen worden und die Definitionen sind so gewählt, dass die Eigenschaften jeder vorherigen Funktion erhalten bleiben, wenn man den dazugekommenen Parameter gleich 1 setzt. Es ist jedoch auf Polstellen zu achten. Selbstverständlich ist immer noch

$\mathrm {E} _{1,1,1,1;1,1,1,1}=e^{x}$.

Die ab der vorletzten Funktion auftretende logarithmische Ableitung der Gammafunktion ist die Polygammafunktion.