Affine Hülle ist ein universeller Begriff aus der mathematischen Theorie der affinen Räume. Nahe verwandt ist der Begriff der linearen Hülle. Man nennt die affine Hülle auch Verbindungsraum vor allem dann, wenn die Teilmenge selbst eine Vereinigung von zwei oder mehr affinen Teilräumen ist.

Definition und Eigenschaften

Bearbeiten

Definition

Bearbeiten

Die affine Hülle einer Teilmenge   eines affinen Raumes   ist der kleinste affine Teilraum von  , der die Menge   ganz enthält.

Konstruktion

Bearbeiten

Mit den Bezeichnungen aus der Definition wird aus   ein beliebiger Punkt   gewählt. Er dient als Aufpunkt der affinen Hülle. Dann wird zur Menge der Verbindungsvektoren   die lineare Hülle   gebildet.   ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen von Elementen aus  , also die lineare Hülle von   in dem Vektorraum, der zum affinen Raum   gehört. Dieser Teil der Konstruktion ist ausführlicher im Artikel Lineare Hülle beschrieben. Nun ist   die affine Hülle von  .

Die affine Hülle der leeren Menge ist die leere Menge.

Eigenschaften

Bearbeiten

Die affine Hülle einer beliebigen Teilmenge   eines affinen Raumes  

  • ist eindeutig bestimmt (als konkrete Menge, nicht nur bis auf Isomorphie),
  • ist ein affiner Raum mit einer Dimension zwischen -1 (leere Menge) und der Dimension des Gesamtraums,
  • enthält die konvexe Hülle der Menge   und ist auch deren affine Hülle, sofern   ein reeller affiner Raum ist.

Die Abbildung, die jeder Teilmenge eines Vektorraumes bzw. eines affinen Raumes ihre lineare Hülle zuordnet, ist ein Hüllenoperator.

In der Menge   der affinen Teilräume eines affinen Raumes (einschließlich der leeren Menge und des Gesamtraums) kann man die Operation "bilde die affine Hülle der Vereinigungsmenge" als zweistellige Verknüpfung einführen, hier wird, wenn   sind,   für diese affine Hülle geschrieben, sie wird dann auch als Verbindungsraum der Teilräume bezeichnet. Die dazu duale Verknüpfung ist dann die Schnittmengenbildung. Mit diesen Verknüpfungen bildet   dann einen distributiven Verband und sogar eine Boolesche Algebra.

  • Für die Dimensionen des Verbindungsraumes und des Schnittes von zwei affinen Teilräumen gilt die Formel
 .

Beispiele

Bearbeiten
  • Die affine Hülle von zwei beliebigen verschiedenen Punkten im Raum ist deren Verbindungsgerade.
  • Die affine Hülle von drei Punkten des Raumes ist eine Gerade (falls die drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen) oder die Ebene, auf der alle drei Punkte liegen.
  • Die affine Hülle einer ebenen Figur im Raum (Dreieck, Kreis usw.) ist die Ebene, die die Figur enthält.

Siehe auch

Bearbeiten

[Kategorie:Lineare Algebra]]