Benutzer:Godung Gwahag/Systole

Die Picard-Fuchs-Differentialgleichung ist eine von Émile Picard und Lazarus Fuchs aufgestellte lineare gewöhnliche Differentialgleichung für die Periode von holomorphen $n$ -Formen einer eindimensionalen Familie glatter (komplex differenzierbarer) projektiver algebraischer Varietäten der Dimension $n$ , deren Lösung die Perioden elliptischer Kurven beschreibt.

Perioden Bearbeiten

Jede Faser $E_{t}$ ( $U\times V$ , lokal trivialisiert $\phi _{\alpha }:\pi ^{-1}(U_{\alpha })\rightarrow U_{\alpha }\times \Re ^{q}$ ) besitzt eine zweidimensionale Kohomologie-Gruppe $H^{1}(E_{t},\mathbb {C} )\simeq \mathbb {C} ^{2}$ im Raum $B$ , die nach dem Satz von Ehresmann konstant sind und durch eine Projektion zur Vektorbündel $n$ -Form zusammengefasst werden.

Durch die Nutzung des eindimensionalen Untervektoraumes $H^{1,0}(E_{t})\subseteq H^{1}(E_{t},\mathbb {C} )$ , der die komplexen zweidimensionalen Vektorbündel in Abhängigkeit von $t$ bestimmt.

Nun seien $\alpha ,\beta$ die Grundkreise eines Torus, der durch die Vektorbündel bestimmt wird. Somit kann ein beliebiger Punkt in $H^{1}(E_{t},\mathbb {C} )$ durch $\alpha ,\beta$ bestimmt werden.

Als Integral (Periode) dargestellt über $\omega (t)$ (komplexes Polynom in $H^{1,0}(E_{t})$ ) mit der Neigung:

\tau =\int \limits _{\alpha }\displaystyle \omega (t){\Bigg /}\int \limits _{\beta }\omega (t)

Folgend lässt sich bestimmen, wie sich die Faser-Struktur ändert.

Picard-Fuchs Gleichung Bearbeiten

Infolgedessen beschreibt die Picard-Fuchs Gleichung neben dem Verhalten bzw. Neigung die komplexe Struktur der Fasern. Jeder Grundkreis eines komplexen Torus lässt sich über ein Gitter $\Gamma$ oder mit der Weierstraßsche elliptische Funktion durch einer elliptische Kurve beschreiben (Diagramm 1) mit dem Modul:

y^{2}=4x^{3}-g_{2}(\Gamma )x-g_{3}(\Gamma )

.

Dabei sind $g_{n}(\Gamma )$ Eisensteinreihen.

Als holomorphe 1-Form geschrieben gilt dann:

\omega ={dx \over y}={dx \over {\sqrt {4x^{3}-g_{2}(\Gamma )x-g_{3}(\Gamma )}}}

Diagramm 1:

f_{el}(x),\{{x\land y}\}\in \mathbb {C} {\xrightarrow {\Gamma :=\langle b_{1},\dots ,b_{m}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\left\{\left.\textstyle \sum \limits _{i=1}^{m}g_{i}b_{i}\ \right|\,g_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}}{\text{Torus}}\in \mathbb {C} \leftarrow \wp (z)

Wie im obigen Abschnitt dargestellt, ergibt sich die Periode durch das Integral:

\tau =\pi (t)=\int \limits _{\alpha }\displaystyle \omega (t)

Gemäß der Picard-Fuchs Gleichung liegt für $\pi (t)$ eine homogene Differentialgleichung zweiter Art zugrunde:

{d^{2}\pi  \over dt^{2}}+B{d\pi  \over dt}+C\pi =\int \eta

Dabei sind $B$ und $C$ rationale Funktionen $B(t)\land C(t)=\sum _{n=1}^{m}a_{n}t^{n};t,B(t),C(t)\in \Re$

Um das Verhalten der im Riemannischen Raum komplexen Grundringe zu bestimmen, muss $B(t)$ und $C(t)$ so gewählt werden das gilt:

{d^{2}\pi  \over dt^{2}}+B{d\pi  \over dt}+C\pi =\int _{\alpha }\displaystyle \eta =\int _{\alpha }d\phi =0

und

\eta ={d^{2}\omega  \over dt^{2}}+B{d\omega  \over dt}+C\omega

. (Satz von Stokes)

Diese Differentialgleichung muss nun nach $C(t)$ und $B(t)$ aufgelöst werden. Da diese Lösung sehr viel Zeit in Anspruch nimmt, übernehmen die Lösungen zumeist Computer. Allgemeiner Ansatz in Abb. 1.