Satz von Ehresmann

In der Mathematik ist der Satz von Ehresmann, benannt nach Charles Ehresmann, ein grundlegender Satz der Differentialtopologie.

Formulierung des Satzes

Seien $M,N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$f:M\rightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung mit folgenden Eigenschaften:

1. $f$ ist eine Submersion, d. h. für alle $x\in M$ ist das Differential $D_{x}f:T_{x}M\rightarrow T_{f(x)}N$ surjektiv,

2. $f$ ist surjektiv, d. h. für alle $y\in N$ ist $f^{-1}(\left\{y\right\})$ nicht leer,

3. $f$ ist eigentlich, d. h. für alle kompakten Mengen $K\subset N$ ist $f^{-1}(K)$ kompakt.

Dann ist $f:M\rightarrow N$ ein Faserbündel.

Man beachte, dass die dritte Bedingung automatisch erfüllt ist, wenn $M$ kompakt ist.

Beispiel

Niveaumengen von $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$

Eine Funktion $f:M\rightarrow N$ liefert eine Zerlegung des Urbildraumes $M$ in Niveaumengen

$f^{-1}(c):c\in N$.

Das Bild rechts zeigt die Zerlegung von $\mathbb {R} ^{2}$ in Niveaumengen der Funktion $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$.

Man kann dann fragen, ob diese Zerlegung lokal trivial, also ein Faserbündel über $N$ mit den Niveaumengen als Fasern ist. (Daraus würde dann insbesondere folgen, dass alle Niveaumengen diffeomorph zueinander sind.)

Das Beispiel $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ ist als Abbildung von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} _{\geq 0}$ kein Faserbündel, denn $f^{-1}(0)$ ist nicht diffeomorph zu $f^{-1}(c)$ für $c>0$. Der Grund dafür ist letztlich, dass $f$ im Punkt $(0,0)$ keine Submersion ist: das Differential verschwindet in diesem Punkt.

Dagegen erfüllt die Einschränkung von $f$ auf $\mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}$ die Voraussetzungen des Satzes von Ehresmann, die Niveaumengen von $x^{2}+y^{2}$ sind also die Fasern eines Faserbündels $p:\mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}\rightarrow \mathbb {R} _{>0}$. In diesem Beispiel handelt es sich sogar um ein (global) triviales Faserbündel, die Abbildung $(r,\theta )\rightarrow (r\cos \theta ,r\sin \theta )$ liefert einen Diffeomorphismus $\mathbb {R} _{>0}\times S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}$.

Gegenbeispiel

Beispiele, die die Bedingungen 1. und 2., aber weder Bedingung 3. noch die Konklusion erfüllen, erhält man wie folgt: Seien $A$ und $B$ kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeiten, $(a_{0},b_{0})\in A\times B$ ein beliebiger Punkt, $M:=A\times B\setminus \left\{(a_{0},b_{0})\right\}$ und $f:M\rightarrow B$ die durch

$f(a,b)=b$

definierte Abbildung. $f$ ist eine surjektive Submersion, aber kein Faserbündel, denn $f^{-1}(b_{0})$ ist nicht diffeomorph zu $f^{-1}(b)$ für $b\not =b_{0}$. (Denn $f^{-1}(b)$ ist kompakt, während $f^{-1}(b_{0})$ nicht kompakt ist.)

Literatur

• Dundas: Differential Topology (PDF; 3,1 MB) mit einem Beweis des Satzes in Abschnitt 9.5.