Barratt-Milnor-Sphäre

Begriff der algebraischen Topologie

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie sind die Barratt-Milnor-Sphären ein Beispiel eines kompakten endlich-dimensionalen Raumes, dessen Homologiegruppen in beliebig hohen Graden nicht verschwinden und sogar überabzählbare Dimension haben. Sie sind nach Michael Barratt und John Milnor benannt.

Definition

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Die  -dimensionale Barratt-Milnor-Sphäre kann definiert werden als

 .

Es handelt sich also um eine abzählbare Vereinigung von  -Sphären, die einen einzelnen Punkt gemeinsam haben und deren Topologie von einer Metrik kommt, in der die Durchmesser der Sphären mit wachsendem   gegen Null konvergieren.

Für   erhält man den Hawaiischen Ohrring. Die Bezeichnung Barratt-Milnor-Sphäre wird nur für   verwendet.

Homologiegruppen

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Für   sind die singulären Homologiegruppen   nicht Null und sogar überabzählbar.

Eigenschaften

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Die  -dimensionalen Barratt-Milnor-Sphären sind  -zusammenhängend und lokal  -zusammenhängend.

Sie sind aber nicht semilokal  -zusammenhängend.

Sie sind kompakt und  -dimensional.

Sie sind die Einpunkt-Kompaktifizierung einer abzählbaren Vereinigung von  s.

Literatur

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  • M. Barratt, J. Milnor: An example of anomalous singular homology, Proc. Amer. Math. Soc. 13, 293–297 (1962)