Barnessche G-Funktion

mathematische Funktion
(Weitergeleitet von Barnes'sche G-Funktion)

Die Barnessche -Funktion, typischerweise mit bezeichnet, ist eine Funktion, die eine Erweiterung der Superfakultäten auf die komplexen Zahlen darstellt. Sie steht in Beziehung zur Gammafunktion, der -Funktion und der Konstanten von Glaisher-Kinkelin und ist nach dem Mathematiker Ernest William Barnes benannt.[1]

Barnessche -Funktion entlang der realen x-Achse

Formal ist die Barnessche -Funktion in der Form eines Weierstraß-Produkts definiert als

wobei die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Differenzengleichung, Funktionalgleichung und spezielle Werte

Bearbeiten

Die Barnessche  -Funktion erfüllt die Differenzengleichung

 

mit der Normierung   Die Differenzengleichung impliziert, dass   die folgenden Werte für ganzzahlige Argumente annimmt:

 

so dass

 

wobei   die Gammafunktion und   die K-Funktion bezeichnen. Die Differenzengleichung definiert die  -Funktion eindeutig, wenn die Konvexitätsbedingung

 

gestellt wird.[2]

Die Differenzengleichung der  -Funktion und die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion liefern die folgende Funktionalgleichung für die  -Funktion, wie ursprünglich von Hermann Kinkelin bewiesen wurde:

 

Multiplikationsformel

Bearbeiten

Wie die Gamma-Funktion erfüllt auch die  -Funktion eine Multiplikationsformel:[3]

 

wobei   eine Funktion ist, die durch

 

gegeben ist. Hierbei ist   die Ableitung der Riemannschen Zeta-Funktion und   die Konstante von Glaisher-Kinkelin.

Asymptotische Entwicklung

Bearbeiten

Die Funktion   hat die folgende asymptotische Entwicklung, die von Barnes gefunden wurde:

 

Hierbei bezeichnet   die Bernoulli-Zahlen und   die Konstante von Glaisher-Kinkelin. (Man beachte, dass zur Zeit von Barnes[4] die Bernoulli-Zahl   als   geschrieben wurde. Diese Konvention wird nicht länger verwendet.) Die Entwicklung ist gültig für   in jedem Sektor, der nicht die negative reelle Achse enthält.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Ernest W. Barnes: The theory of the  -function. In: The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, Bd. 31 (1900), Seiten 264–314.
  2. Marie-France Vignéras: L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe modulaire  . In: Astérisque, Bd. 61 (1979), Seiten 235–249, ISSN 0303-1179.
  3. Moshe Y. Vardi: Determinants of Laplacians and multiple gamma functions. In: SIAM Journal on Mathematical Analysis, Bd. 19 (1988), Seiten 493–507, ISSN 0036-1410.
  4. Edmund Taylor Whittaker, George N. Watson: A Course of Modern Analysis. 4. Aufl. Cambridge University Press, Cambridge 1990, ISBN 978-0-521-09189-3.