Die Konstante von Glaisher-Kinkelin wird üblicherweise mit
A
{\displaystyle A}
A
=
1
,
28242
71291
00622
63687
53425
68869
79172
77676
88927
32500
11920
63740
02174
04063
08858
82646
11297
36491
95820
23743
.
.
.
{\displaystyle A=1,28242{\text{ }}71291{\text{ }}00622{\text{ }}63687{\text{ }}53425{\text{ }}68869{\text{ }}79172{\text{ }}77676{\text{ }}88927{\text{ }}32500{\text{ }}11920{\text{ }}63740{\text{ }}02174{\text{ }}04063{\text{ }}08858{\text{ }}82646{\text{ }}11297{\text{ }}36491{\text{ }}95820{\text{ }}23743{\text{ }}...}
[ 1] Die einzelnen Nachkommastellen bilden die Folge A074962 in OEIS .
Definitionen der Glaisher-Kinkelin-Konstante
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Eine mögliche Definition[ 2]
A
{\displaystyle A}
A
=
lim
n
→
∞
K
(
n
+
1
)
n
1
2
n
2
+
1
2
n
+
1
12
e
−
1
4
n
2
=
lim
n
→
∞
hf
(
n
)
exp
[
(
1
2
n
2
+
1
2
n
+
1
12
)
ln
(
n
)
−
1
4
n
2
]
{\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n+{\frac {1}{12}}}\,e^{-{\frac {1}{4}}n^{2}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\operatorname {hf} (n)}{\exp {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{12}}{\bigr )}\ln(n)-{\tfrac {1}{4}}n^{2}{\bigr ]}}}}
Dabei ist die Hyperfakultät so definiert:
hf
(
x
)
=
exp
{
x
2
[
x
+
1
−
ln
(
2
π
)
−
γ
x
]
}
∏
n
=
1
∞
[
(
1
+
x
n
)
−
n
−
x
exp
(
x
2
2
n
+
x
)
]
{\displaystyle \operatorname {hf} (x)=\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}x+1-\ln(2\,\pi )-\gamma \,x{\bigr ]}{\biggr \}}\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{-n-x}\exp {\bigl (}{\frac {x^{2}}{2n}}+x{\bigr )}{\biggr ]}}
hf
(
x
)
=
exp
{
x
2
[
x
+
1
−
ln
(
2
π
)
]
+
∫
0
1
x
ln
[
Π
(
x
y
)
]
d
y
}
{\displaystyle \operatorname {hf} (x)=\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}x+1-\ln(2\,\pi ){\bigr ]}+\int \limits _{0}^{1}x\ln {\bigl [}\Pi (xy){\bigr ]}\,\mathrm {d} y{\biggr \}}}
hf
(
x
)
=
exp
{
x
2
[
x
+
1
−
ln
(
2
π
)
]
+
∫
0
1
x
ln
[
Γ
(
x
y
+
1
)
]
d
y
}
{\displaystyle \operatorname {hf} (x)=\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}x+1-\ln(2\,\pi ){\bigr ]}+\int \limits _{0}^{1}x\ln {\bigl [}\Gamma (xy+1){\bigr ]}\,\mathrm {d} y{\biggr \}}}
hf
(
x
)
=
exp
{
x
2
[
−
γ
x
+
x
+
1
−
ln
(
2
π
)
]
+
∫
0
∞
x
2
y
2
−
2
x
y
+
2
−
2
exp
(
−
x
y
)
2
y
2
[
exp
(
y
)
−
1
]
d
y
}
{\displaystyle \operatorname {hf} (x)=\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}-\gamma \,x+x+1-\ln(2\,\pi ){\bigr ]}+\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}y^{2}-2\,xy+2-2\exp(-xy)}{2\,y^{2}{\bigl [}\exp(y)-1{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} y{\biggr \}}}
Alle vier soeben gezeigten Definitionsformeln für die Hyperfakultät sind zueinander identisch.
Für die Fakultätsfunktion beziehungsweise die Gaußsche Pifunktion gilt mit dem Weierstraß-Produkt [ 3]
x
!
=
Π
(
x
)
=
Γ
(
x
+
1
)
=
exp
(
−
γ
x
)
∏
n
=
1
∞
[
(
1
+
x
n
)
−
1
exp
(
x
n
)
]
{\displaystyle x!=\Pi (x)=\Gamma (x+1)=\exp(-\,\gamma \,x)\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{-1}\exp {\bigl (}{\frac {x}{n}}{\bigr )}{\bigr ]}}
Diese Induktionsgleichungen sind für die Hyperfakultät gültig:
hf
(
n
)
=
n
K
(
n
)
=
K
(
n
+
1
)
=
∏
m
=
1
n
m
m
=
1
1
⋅
2
2
⋅
3
3
⋯
n
n
{\displaystyle \operatorname {hf} (n)=n\,K(n)=K(n+1)=\prod _{m=1}^{n}m^{m}=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}}
hf
(
n
)
=
K
(
n
+
1
)
=
1
1
⋅
2
2
⋅
3
3
⋯
n
n
{\displaystyle \operatorname {hf} (n)=K(n+1)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}}
Die Hyperfakultät ist mit der K-Funktion des Nachfolgers identisch.
Mit dieser Definition eng verwandt ist diese über die Gammafunktion
Γ
{\displaystyle \Gamma }
A
=
2
7
/
36
π
1
/
6
exp
{
1
3
+
2
3
∫
0
1
/
2
ln
[
Π
(
x
)
]
d
x
}
=
2
7
/
36
π
1
/
6
exp
{
1
3
+
2
3
∫
0
1
/
2
ln
[
Γ
(
x
+
1
)
]
d
x
}
{\displaystyle A={\frac {2^{7/36}}{\pi ^{1/6}}}\exp {\biggl \{}{\frac {1}{3}}+{\frac {2}{3}}\int _{0}^{1/2}\!\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}\,\mathrm {d} x{\biggr \}}={\frac {2^{7/36}}{\pi ^{1/6}}}\exp {\biggl \{}{\frac {1}{3}}+{\frac {2}{3}}\int _{0}^{1/2}\!\ln {\bigl [}\Gamma (x+1){\bigr ]}\,\mathrm {d} x{\biggr \}}}
Eine weitere Definition unter Verwendung der Kreiszahl
π
{\displaystyle \pi }
A
=
lim
n
→
∞
n
1
2
n
2
−
1
12
(
2
π
)
1
2
n
e
−
3
4
n
2
+
1
12
G
(
n
+
1
)
{\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{{\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {1}{12}}}\,(2\pi )^{{\frac {1}{2}}n}\,e^{-{\frac {3}{4}}n^{2}+{\frac {1}{12}}}}{G(n+1)}}}
Dabei steht der Buchstabe G für die Barnessche G-Funktion
G
(
n
+
1
)
=
1
!
⋅
2
!
⋅
3
!
⋯
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle G(n+1)=1!\cdot 2!\cdot 3!\cdots (n-1)!}
Deswegen kann alternativ zu diesem Ausdruck auch eine Grenzwertdefinition mit der Superfakultät aufgestellt werden:
A
=
lim
n
→
∞
1
sf
(
n
)
exp
[
(
1
2
n
2
+
n
+
5
12
)
ln
(
n
+
1
)
+
1
2
(
n
+
1
)
ln
(
2
π
)
−
3
4
n
2
−
3
2
n
−
2
3
]
{\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\operatorname {sf} (n)}}\exp {\bigl [}{\bigl (}{\frac {1}{2}}n^{2}+n+{\frac {5}{12}}{\bigr )}\ln(n+1)+{\frac {1}{2}}(n+1)\ln(2\,\pi )-{\frac {3}{4}}n^{2}-{\frac {3}{2}}n-{\frac {2}{3}}{\bigr ]}}
Dabei ist die Superfakultät mit diesen zueinander identischen Formeln definiert:
sf
(
x
)
=
Π
(
x
)
exp
{
x
2
[
ln
(
2
π
)
−
γ
x
−
x
−
1
]
}
∏
n
=
1
∞
[
(
1
+
x
n
)
n
exp
(
x
2
2
n
−
x
)
]
{\displaystyle \operatorname {sf} (x)=\Pi (x)\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}\ln(2\,\pi )-\gamma \,x-x-1{\bigr ]}{\biggr \}}\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{n}\exp {\bigl (}{\frac {x^{2}}{2n}}-x{\bigr )}{\biggr ]}}
sf
(
x
)
=
Γ
(
x
+
1
)
exp
{
x
2
[
ln
(
2
π
)
−
γ
x
−
x
−
1
]
}
∏
n
=
1
∞
[
(
1
+
x
n
)
n
exp
(
x
2
2
n
−
x
)
]
{\displaystyle \operatorname {sf} (x)=\Gamma (x+1)\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}\ln(2\,\pi )-\gamma \,x-x-1{\bigr ]}{\biggr \}}\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{n}\exp {\bigl (}{\frac {x^{2}}{2n}}-x{\bigr )}{\biggr ]}}
sf
(
x
)
=
hf
(
x
)
−
1
Π
(
x
)
x
+
1
=
hf
(
x
)
−
1
Γ
(
x
+
1
)
x
+
1
{\displaystyle \operatorname {sf} (x)=\operatorname {hf} (x)^{-1}\,\Pi (x)^{x+1}=\operatorname {hf} (x)^{-1}\,\Gamma (x+1)^{x+1}}
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Eine andere Definition lautet so:
A
=
exp
[
1
12
−
ζ
′
(
−
1
)
]
{\displaystyle A=\exp {\bigl [}{\tfrac {1}{12}}-\zeta ^{\prime }(-1){\bigr ]}}
die einen Zusammenhang zur Ableitung der Riemannschen Zetafunktion
ζ
{\displaystyle \zeta }
darstellt.
Hurch Hinzufügung der Abel-Plana-Definition von der Riemannschen Zeta-Ableitung erhält man diese Formel:
A
=
exp
[
1
3
−
∫
0
∞
2
arctan
(
x
)
+
x
ln
(
x
2
+
1
)
2
exp
(
π
x
)
sinh
(
π
x
)
d
x
]
{\displaystyle A=\exp {\biggl [}{\frac {1}{3}}-\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(x)+x\ln(x^{2}+1)}{2\exp(\pi \,x)\sinh(\pi \,x)}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}}
Durch Einsetzen der Abel-Plana-Definitionen von Dirichletscher Lambdafunktion und Etafunktion können auch diese Definitionen aufgestellt werden:
A
=
exp
[
−
1
24
+
1
6
ln
(
2
)
+
∫
0
∞
2
arctan
(
x
)
+
x
ln
(
x
2
+
1
)
4
exp
(
π
x
/
2
)
sinh
(
π
x
/
2
)
d
x
]
{\displaystyle A=\exp {\biggl [}-{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{6}}\ln(2)+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(x)+x\ln(x^{2}+1)}{4\exp(\pi \,x/2)\sinh(\pi \,x/2)}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}}
A
=
exp
[
1
12
+
1
9
ln
(
2
)
+
1
3
∫
0
∞
2
arctan
(
x
)
+
x
ln
(
x
2
+
1
)
2
sinh
(
π
x
)
d
x
]
{\displaystyle A=\exp {\biggl [}{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{9}}\ln(2)+{\frac {1}{3}}\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(x)+x\ln(x^{2}+1)}{2\sinh(\pi \,x)}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}}
Eine Reihendarstellung lautet (Guillera, Sondow 2008)[ 4]
ln
A
=
1
8
+
1
2
∑
n
=
0
∞
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
+
1
(
n
k
)
(
k
+
1
)
2
ln
(
k
+
1
)
{\displaystyle \ln A={\frac {1}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k+1}{\binom {n}{k}}(k+1)^{2}\ln(k+1)}
Sie basiert auf der Riemannschen Zetafunktion.
Der Mathematiker Helmut Hasse hat sie auf Basis des genannten Werkes von Sondow und Guillera weitererforscht.
Folgende[ 5]
∏
n
=
1
∞
n
1
/
n
2
=
exp
{
2
π
2
ln
(
A
)
−
π
2
6
[
ln
(
2
π
)
+
γ
]
}
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }n^{1/n^{2}}=\exp {\bigl \{}2\,\pi ^{2}\ln(A)-{\frac {\pi ^{2}}{6}}{\bigl [}\ln(2\,\pi )+\gamma {\bigr ]}{\bigr \}}}
∏
p
∈
prim
∞
p
1
/
(
p
2
−
1
)
=
exp
[
12
ln
(
A
)
−
ln
(
2
π
)
−
γ
]
{\displaystyle \prod _{p\,\in \,{\text{prim}}}^{\infty }p^{1/(p^{2}-1)}=\exp {\bigl [}12\ln(A)-\ln(2\,\pi )-\gamma {\bigr ]}}
Das obere von diesen beiden Produkten weist eine enge Verwandtschaft zu den Kummerschen Reihen auf.
Ableitungswerte der Riemannschen und Dirichletschen Funktionen
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Definition der Funktionen und Ableitungen
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Im Folgenden werden die Abel-Plana-Definitionen für die Riemannsche Zetafunktion , die Dirichletsche Lambdafunktion und die Dirichletsche Etafunktion aufgestellt:
Name der Funktion
Abel-Plana-Integralausdruck
Riemannsche Zetafunktion
ζ
(
x
)
=
x
+
1
2
x
−
2
+
∫
0
∞
sin
[
x
arctan
(
y
)
]
(
y
2
+
1
)
x
/
2
exp
(
π
y
)
sinh
(
π
y
)
d
y
{\displaystyle \zeta (x)={\frac {x+1}{2x-2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{(y^{2}+1)^{x/2}\exp(\pi \,y)\sinh(\pi \,y)}}\,\mathrm {d} y}
Dirichletsche Lambdafunktion
λ
(
x
)
=
x
2
x
−
2
+
∫
0
∞
sin
[
x
arctan
(
y
)
]
2
(
y
2
+
1
)
x
/
2
exp
(
π
y
/
2
)
sinh
(
π
y
/
2
)
d
y
{\displaystyle \lambda (x)={\frac {x}{2x-2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{2(y^{2}+1)^{x/2}\exp(\pi \,y/2)\sinh(\pi \,y/2)}}\,\mathrm {d} y}
Dirichletsche Etafunktion
η
(
x
)
=
1
2
+
∫
0
∞
sin
[
x
arctan
(
y
)
]
(
y
2
+
1
)
x
/
2
sinh
(
π
y
)
d
y
{\displaystyle \eta (x)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{(y^{2}+1)^{x/2}\sinh(\pi \,y)}}\,\mathrm {d} y}
Durch Bildung des Differentialquotienten bezüglich x entstehen folgende Definitionen für die Ableitungen der Riemannschen und Dirichletschen Funktionen:
Name der Funktion
Abel-Plana-Integralausdruck
Riemannsche Zetaableitung
ζ
′
(
x
)
=
−
1
(
x
−
1
)
2
+
∫
0
∞
2
arctan
(
y
)
cos
[
x
arctan
(
y
)
]
−
ln
(
y
2
+
1
)
sin
[
x
arctan
(
y
)
]
2
(
y
2
+
1
)
x
/
2
exp
(
π
y
)
sinh
(
π
y
)
d
y
{\displaystyle \zeta '(x)=-{\frac {1}{(x-1)^{2}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(y)\cos[x\arctan(y)]-\ln(y^{2}+1)\sin[x\arctan(y)]}{2(y^{2}+1)^{x/2}\exp(\pi \,y)\sinh(\pi \,y)}}\,\mathrm {d} y}
Dirichletsche Lambdaableitung
λ
′
(
x
)
=
−
1
2
(
x
−
1
)
2
+
∫
0
∞
2
arctan
(
y
)
cos
[
x
arctan
(
y
)
]
−
ln
(
y
2
+
1
)
sin
[
x
arctan
(
y
)
]
4
(
y
2
+
1
)
x
/
2
exp
(
π
y
/
2
)
sinh
(
π
y
/
2
)
d
y
{\displaystyle \lambda '(x)=-\,{\frac {1}{2(x-1)^{2}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(y)\cos[x\arctan(y)]-\ln(y^{2}+1)\sin[x\arctan(y)]}{4(y^{2}+1)^{x/2}\exp(\pi \,y/2)\sinh(\pi \,y/2)}}\,\mathrm {d} y}
Dirichletsche Etaableitung
η
′
(
x
)
=
∫
0
∞
2
arctan
(
y
)
cos
[
x
arctan
(
y
)
]
−
ln
(
y
2
+
1
)
sin
[
x
arctan
(
y
)
]
2
(
y
2
+
1
)
x
/
2
sinh
(
π
y
)
d
y
{\displaystyle \eta '(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(y)\cos[x\arctan(y)]-\ln(y^{2}+1)\sin[x\arctan(y)]}{2(y^{2}+1)^{x/2}\sinh(\pi \,y)}}\,\mathrm {d} y}
Als Nächstes werden die Ableitungswerte der Riemannschen und Dirichletschen Funktionen ausgedrückt über die Glaisher-Kinkelin-Konstante tabellarisch gegenübergestellt:
Abszissenwerte x
Riemannsche Zetaableitung
Dirichletsche Lambdaableitung
Dirichletsche Etaableitung
+
2
{\displaystyle +2}
ζ
′
(
2
)
=
−
1
6
π
2
[
12
ln
(
A
)
−
ln
(
2
π
)
−
γ
]
{\displaystyle \zeta '(2)=-{\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}{\bigl [}12\ln(A)-\ln(2\pi )-\gamma {\bigr ]}}
λ
′
(
2
)
=
−
1
24
π
2
[
36
ln
(
A
)
−
ln
(
16
π
3
)
−
3
γ
]
{\displaystyle \lambda '(2)=-{\tfrac {1}{24}}\pi ^{2}{\bigl [}36\ln(A)-\ln(16\pi ^{3})-3\,\gamma {\bigr ]}}
η
′
(
2
)
=
1
12
π
2
[
ln
(
4
π
)
−
12
ln
(
A
)
+
γ
]
{\displaystyle \eta '(2)={\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}{\bigl [}\ln(4\pi )-12\ln(A)+\gamma {\bigr ]}}
−
1
{\displaystyle -1}
ζ
′
(
−
1
)
=
1
12
−
ln
(
A
)
{\displaystyle \zeta '(-1)={\tfrac {1}{12}}-\ln(A)}
λ
′
(
−
1
)
=
ln
(
A
)
−
1
6
ln
(
2
)
−
1
12
{\displaystyle \lambda '(-1)=\ln(A)-{\tfrac {1}{6}}\ln(2)-{\tfrac {1}{12}}}
η
′
(
−
1
)
=
3
ln
(
A
)
−
1
3
ln
(
2
)
−
1
4
{\displaystyle \eta '(-1)=3\ln(A)-{\tfrac {1}{3}}\ln(2)-{\tfrac {1}{4}}}
Denn es gelten folgende Umwandlungsformeln:
λ
′
(
x
)
=
2
−
x
ln
(
2
)
ζ
(
x
)
+
(
1
−
2
−
x
)
ζ
′
(
x
)
{\displaystyle \lambda '(x)=2^{-x}\ln(2)\,\zeta (x)+(1-2^{-x})\,\zeta '(x)}
η
′
(
x
)
=
2
1
−
x
ln
(
2
)
ζ
(
x
)
+
(
1
−
2
1
−
x
)
ζ
′
(
x
)
{\displaystyle \eta '(x)=2^{1-x}\ln(2)\,\zeta (x)+(1-2^{1-x})\,\zeta '(x)}
Hermann Kinkelin : Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung . (Juli 1856) In: Journal für die reine und angewandte Mathematik , 57, 1860, S. 122–138 (beim GDZ: digizeitschriften.de )J. W. L. Glaisher : On the Product 1¹.2².3³...nⁿ . In: The Messenger of Mathematics , 7, 1878, S. 43–47 (englisch; „A =1·28242 7130“ auf S. 43); Textarchiv – Internet Archive
↑ 20,000 digits of the Glaisher-Kinkelin constant (Memento Internet Archive ) – die ersten 20.000 Nachkommastellen beim Projekt mpmath (englisch)↑ Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung . Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0 , S. 103
↑ Archiv der Mathematik und Physik . B. G. Teubner., 1844 (google.de [abgerufen am 30. Januar 2023]). ↑ Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch’s transcendent . In: The Ramanujan Journal , 16, 2008, S. 247–270 (arxiv :math.NT/0506319 )
↑ Robert A. Van Gorder: Glaisher-type products over the primes . In: International Journal of Number Theory . Band 08 , Nr. 02 , 1. März 2012, ISSN 1793-0421 S. 543–550 , doi :10.1142/S1793042112500297 worldscientific.com [abgerufen am 8. Januar 2023]).
![{\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n+{\frac {1}{12}}}\,e^{-{\frac {1}{4}}n^{2}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\operatorname {hf} (n)}{\exp {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{12}}{\bigr )}\ln(n)-{\tfrac {1}{4}}n^{2}{\bigr ]}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67c0e24dc4ea1b80a36dce63f4523d81af59f57)
![{\displaystyle \operatorname {hf} (x)=\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}x+1-\ln(2\,\pi )-\gamma \,x{\bigr ]}{\biggr \}}\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{-n-x}\exp {\bigl (}{\frac {x^{2}}{2n}}+x{\bigr )}{\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e74cd48ca6cb81711eec50dd45c78e6828e5ac)
![{\displaystyle \operatorname {hf} (x)=\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}x+1-\ln(2\,\pi ){\bigr ]}+\int \limits _{0}^{1}x\ln {\bigl [}\Pi (xy){\bigr ]}\,\mathrm {d} y{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f67cdfb8a9acaa8a2110dd49aa1d65c10c0bad5)
![{\displaystyle \operatorname {hf} (x)=\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}x+1-\ln(2\,\pi ){\bigr ]}+\int \limits _{0}^{1}x\ln {\bigl [}\Gamma (xy+1){\bigr ]}\,\mathrm {d} y{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dff428795933c24c3a500e26e8c19f8a44078f1)
![{\displaystyle \operatorname {hf} (x)=\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}-\gamma \,x+x+1-\ln(2\,\pi ){\bigr ]}+\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}y^{2}-2\,xy+2-2\exp(-xy)}{2\,y^{2}{\bigl [}\exp(y)-1{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} y{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae798fb83ac82220c36c1a9bae16ddf6063c1a9)
![{\displaystyle x!=\Pi (x)=\Gamma (x+1)=\exp(-\,\gamma \,x)\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{-1}\exp {\bigl (}{\frac {x}{n}}{\bigr )}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d070eefc2bdf4698fde0fc67c307d8359a9985)
![{\displaystyle A={\frac {2^{7/36}}{\pi ^{1/6}}}\exp {\biggl \{}{\frac {1}{3}}+{\frac {2}{3}}\int _{0}^{1/2}\!\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}\,\mathrm {d} x{\biggr \}}={\frac {2^{7/36}}{\pi ^{1/6}}}\exp {\biggl \{}{\frac {1}{3}}+{\frac {2}{3}}\int _{0}^{1/2}\!\ln {\bigl [}\Gamma (x+1){\bigr ]}\,\mathrm {d} x{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d0ed210a8a395e22ab5c50d959556a85acc02f)
![{\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\operatorname {sf} (n)}}\exp {\bigl [}{\bigl (}{\frac {1}{2}}n^{2}+n+{\frac {5}{12}}{\bigr )}\ln(n+1)+{\frac {1}{2}}(n+1)\ln(2\,\pi )-{\frac {3}{4}}n^{2}-{\frac {3}{2}}n-{\frac {2}{3}}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aca2aefdf7fe91b10662dac667cf815b42adc0fd)
![{\displaystyle \operatorname {sf} (x)=\Pi (x)\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}\ln(2\,\pi )-\gamma \,x-x-1{\bigr ]}{\biggr \}}\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{n}\exp {\bigl (}{\frac {x^{2}}{2n}}-x{\bigr )}{\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2db693cc0b99e3f937316ea79eae8448e8444f)
![{\displaystyle \operatorname {sf} (x)=\Gamma (x+1)\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}\ln(2\,\pi )-\gamma \,x-x-1{\bigr ]}{\biggr \}}\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{n}\exp {\bigl (}{\frac {x^{2}}{2n}}-x{\bigr )}{\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ea51e637259cbe630884d82866d022a7a27d38)
![{\displaystyle A=\exp {\bigl [}{\tfrac {1}{12}}-\zeta ^{\prime }(-1){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d51326e92a2af5219006eaabb9a7449d0d3494a1)
![{\displaystyle A=\exp {\biggl [}{\frac {1}{3}}-\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(x)+x\ln(x^{2}+1)}{2\exp(\pi \,x)\sinh(\pi \,x)}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167a40c574c695f6074c136ba361f8cab964007a)
![{\displaystyle A=\exp {\biggl [}-{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{6}}\ln(2)+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(x)+x\ln(x^{2}+1)}{4\exp(\pi \,x/2)\sinh(\pi \,x/2)}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bcda1d9c752c906a102f307825c43ef391c5853)
![{\displaystyle A=\exp {\biggl [}{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{9}}\ln(2)+{\frac {1}{3}}\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(x)+x\ln(x^{2}+1)}{2\sinh(\pi \,x)}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04f2a48051375e495b420ce32793014ead040fd)
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }n^{1/n^{2}}=\exp {\bigl \{}2\,\pi ^{2}\ln(A)-{\frac {\pi ^{2}}{6}}{\bigl [}\ln(2\,\pi )+\gamma {\bigr ]}{\bigr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f061b2c7161b787565a4d383a3cb7f29836be39b)
![{\displaystyle \prod _{p\,\in \,{\text{prim}}}^{\infty }p^{1/(p^{2}-1)}=\exp {\bigl [}12\ln(A)-\ln(2\,\pi )-\gamma {\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a201fd41679a90b6a47473e937445c87ec4da8fc)
![{\displaystyle \zeta (x)={\frac {x+1}{2x-2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{(y^{2}+1)^{x/2}\exp(\pi \,y)\sinh(\pi \,y)}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4fb85aaf5a72a168e1587282470032a09dc338)
![{\displaystyle \lambda (x)={\frac {x}{2x-2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{2(y^{2}+1)^{x/2}\exp(\pi \,y/2)\sinh(\pi \,y/2)}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5899b922cf985d1628776762f2b51313bc9c82)
![{\displaystyle \eta (x)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{(y^{2}+1)^{x/2}\sinh(\pi \,y)}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe014fb766add2932bd35866fed9373dcefd0f5)
![{\displaystyle \zeta '(x)=-{\frac {1}{(x-1)^{2}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(y)\cos[x\arctan(y)]-\ln(y^{2}+1)\sin[x\arctan(y)]}{2(y^{2}+1)^{x/2}\exp(\pi \,y)\sinh(\pi \,y)}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499511fed6cbed49b7bcb2fe5de5a3e7be1153d6)
![{\displaystyle \lambda '(x)=-\,{\frac {1}{2(x-1)^{2}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(y)\cos[x\arctan(y)]-\ln(y^{2}+1)\sin[x\arctan(y)]}{4(y^{2}+1)^{x/2}\exp(\pi \,y/2)\sinh(\pi \,y/2)}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1933ec3d5f76fb52e76d701ff94b4a2cb7d76677)
![{\displaystyle \eta '(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(y)\cos[x\arctan(y)]-\ln(y^{2}+1)\sin[x\arctan(y)]}{2(y^{2}+1)^{x/2}\sinh(\pi \,y)}}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f63f23a54b7926817ebee32db5121aa987598f)
![{\displaystyle \zeta '(2)=-{\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}{\bigl [}12\ln(A)-\ln(2\pi )-\gamma {\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67048d4c4c2d1b4b44d0c96bd6976179979ef49a)
![{\displaystyle \lambda '(2)=-{\tfrac {1}{24}}\pi ^{2}{\bigl [}36\ln(A)-\ln(16\pi ^{3})-3\,\gamma {\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e79e918c0a44be7c3a0bf7e1ebffccb2e887a6)
![{\displaystyle \eta '(2)={\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}{\bigl [}\ln(4\pi )-12\ln(A)+\gamma {\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60ee5312101c40e60e9f09bbd4e13df587fac1c)
