K-Funktion

Die $K$-Funktion ist in der Mathematik eine spezielle Mathematik, die üblicherweise mit $K(z)$ bezeichnet wird. Sie verallgemeinert die Hyperfakultät $H(n)$ auf die komplexen Zahlen; analog der komplexen Erweiterung der Fakultätsfunktion zur Gammafunktion.

Die Hyperfakultät einer natürlichen Zahl $n$ ist definiert durch

$H(n)=\prod _{i=1}^{n}i^{i}=1^{1}2^{2}3^{3}4^{4}\cdots n^{n},\qquad n\in \mathbb {N} .$

Für die $K$-Funktion soll nun gelten

$K(n+1)=H(n),\qquad n\in \mathbb {N} ,$

und sie soll auf den Zahlenbereich der komplexen Zahlen erweitert werden.

Definitionen

Eine mögliche Definition der $K$-Funktion lautet:

$K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\binom {z}{2}}+\int \limits _{0}^{z-1}\ln(\Gamma (t+1))\;\mathrm {d} t\right],$

wobei ${\tbinom {z}{2}}$ für die komplexe Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten und Γ für die Gammafunktion steht.

Eine andere Möglichkeit bietet

$K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right],$

wobei $\zeta (z)$ für die riemannsche Zetafunktion und $\zeta (a,z)$ für die hurwitzsche Zeta-Funktion stehen (es werden jeweils die Ableitungen gebraucht.)

Die Verwandtschaft der $K$-Funktion zur Gammafunktion und der barnesschen $G$-Funktion wird durch die Formel

$K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}$

zum Ausdruck gebracht.

Werte

Für natürliche $n$ stimmen die Werte $K(n)$ der K-Funktion definitionsgemäß mit dem Wert $H(n-1)$ der Hyperfakultätsfunktion überein. Die ersten dieser Werte sind

1, 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, … (Folge A002109 in OEIS).

Der Wert $K({\tfrac {1}{2}})$ ist explizit gegeben durch

$K({\tfrac {1}{2}})={\frac {A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}}$ = 1,2451432494…

wobei $A$ für die Konstante von Glaisher-Kinkelin steht.

Weitere Zusammenhänge

Mit der barnesschen G-Funktion $G(z)$ gilt

$K(z)\cdot G(z)=\exp \left\{(z-1)\cdot \log[\Gamma (z)]\right\},$

für alle $z\in \mathbb {C} .$

Benoit Cloitre zeigte 2003 folgende Formel:

${\frac {1}{K(n)}}=(-1)^{n}\operatorname {det} {\begin{vmatrix}-1&-1&-1&\cdots &-1\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{8}}&\cdots &{\frac {1}{2^{n}}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{9}}&-{\frac {1}{27}}&\cdots &-{\frac {1}{3^{n}}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}&{\frac {(-1)^{n}}{n^{3}}}&\cdots &{\frac {(-1)^{n}}{n^{n}}}\\\end{vmatrix}}$.

Literatur

• Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung, Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, 18, S. 122–138 (online)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: K-Funktion. In: MathWorld (englisch).