Das Arens-Produkt, benannt nach Richard Arens, ist eine Konstruktion aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Genaugenommen handelt es sich dabei um zwei Produkte auf dem Bidualraum einer Banachalgebra , die das auf gegebene Produkt fortsetzen, wenn man vermöge der natürlichen Einbettung als Unterraum von auffasst. Beide Produkte machen zu einer Banachalgebra. Stimmen die beiden Produkte überein, so nennt man die Ausgangsalgebra Arens-regulär.

Konstruktion

Bearbeiten

Erstes Arens-Produkt

Bearbeiten

Es sei   eine Banachalgebra,   ihr Dualraum und   ihr Bidualraum. Wie üblich wird   vermöge der isometrischen Einbettung

 

als Unterraum von   aufgefasst. Die Konstruktion eines Produktes auf   erfolgt in drei Schritten:

  1. Für   und   wird   definiert durch  .
  2. Für   und   wird   definiert durch  .
  3. Für   wird   definiert durch  .

Die so definierte Verknüpfung   auf   heißt das erste Arens-Produkt. Man kann zeigen, dass es sich tatsächlich um eine assoziative Multiplikation handelt, die   zu einer Banachalgebra macht. Im Folgenden sei   stets mit dieser Multiplikation versehen. Die leicht nachzurechnende Formel   zeigt, dass dadurch das auf der Ausgangsalgebra gegebene Produkt fortgesetzt wird, wenn man   wie oben erwähnt als Teilmenge von   auffasst.[1]

Zweites Arens-Produkt

Bearbeiten

Das zweite Arens-Produkt ergibt sich aus dem ersten, indem man obige Konstruktion auf die Gegenalgebra   anwendet und anschließend erneut zur Gegenalgebra übergeht, d. h. man bildet  . Auch das kann man wieder als eine dreistufige Konstruktion beschreiben:

  1. Für   und   wird   definiert durch  .
  2. Für   und   wird   definiert durch  .
  3. Für   wird   definiert durch  .

Wieder ist hierdurch eine Multiplikation definiert, die diejenige von   fortsetzt und   zu einer Banachalgebra macht.

Arens-Regularität

Bearbeiten

Während das erste Arens-Produkt ohne Verknüpfungszeichen geschrieben wurde, haben wir zur Unterscheidung einen Punkt für das zweite Arens-Produkt gewählt. Schon Arens hat in der grundlegenden Arbeit[2] gezeigt, dass  , falls einer der Faktoren aus  , das heißt aus  , ist. Im Allgemeinen stimmen die beiden Arens-Produkte nicht überein. Das führt zu folgender Definition:

Eine Banachalgebra heißt Arens-regulär, wenn das erste und zweite Arens-Produkt auf   übereinstimmen, das heißt falls   für alle  .

Eine Banachalgebra   ist genau dann Arens-regulär, wenn für jedes   der durch   definierte lineare Operator   schwach kompakt ist.[3][4]

Beispiele

Bearbeiten

Gruppenalgebren

Bearbeiten

Ist   eine lokalkompakte Gruppe, so ist die Gruppenalgebra   genau dann Arens-regulär, wenn   endlich ist.[5] Insbesondere ist die Faltungsalgebra   ein Beispiel für eine nicht-Arens-reguläre Banachalgebra.

C*-Algebren

Bearbeiten

S. Sherman und Z. Takeda haben gezeigt, dass C*-Algebren stets Arens-regulär sind, dass sich die Involution der C*-Algebra auf den Bidual fortsetzt und dieser dadurch ebenfalls zu einer C*-Algebra wird, sogar zu einer Von-Neumann-Algebra.[6] Weiter kann gezeigt werden, dass diese mit der einhüllenden Von-Neumann-Algebra übereinstimmt.

Eigenschaften

Bearbeiten

Approximation der Eins

Bearbeiten

Eine Banachalgebra   hat genau dann eine beschränkte rechts-Approximation der Eins, wenn   ein rechts-Einselement hat.[7] Daraus folgt:

Eine Arens-reguläre Banachalgebra   hat genau dann eine beschränkte Approximation der Eins, wenn   ein Einselement hat.[8]

Kommutativität

Bearbeiten

Kommutativität vererbt sich nur im Falle der Arens-Regularität auf den Bidual. Ist   eine kommutative Banachalgebra, so ist   genau dann kommutativ unter einem der Arens-Produkte, wenn   Arens-regulär ist.[9]

Vererbungseigenschaften

Bearbeiten

Es sei   eine Arens-reguläre Banachalgebra,   eine abgeschlossene Unteralgebra und   ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal. Dann sind auch   und   Arens-regulär.[10]

Ist   ein kompakter Hausdorffraum und   eine Banachalgebra, so ist die Banachalgebra   der stetigen Funktionen   mit den punktweise erklärten Verknüpfungen genau dann Arens-regulär, wenn   Arens-regulär ist.[11] Aus der Arens-Regularität von   folgt also die Arens-Regularität des injektiven Tensorproduktes  , denn letzteres stimmt mit   überein. Das projektive Tensorprodukt Arens-regulärer Banachalgebren ist im Allgemeinen nicht wieder Arens-regulär.[12]

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, § 10, Example 13 (v)
  2. R. Arens: The adjoint of a bilinear operation, Proceedings Amer. Math. Soc. Band 2 (1951), Seiten 839–848
  3. S. L.Gulick: Commutativity and ideals in the biduals of topological algebras, Pacific J. Math. Band 18 (1966), Seiten 121–137 (kommutativer Fall)
  4. J. Hennefeld: A note on the Arens Products, Pacific J. Math. Band 26 (1968), Seiten 115–119 (allgemeiner Fall)
  5. N. J. Young: The Irregularity of Multiplication in Group Algebras, Quart. J. Math. Oxford, Band 24 (1973), Seiten 59–62
  6. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, § 38, Theorem 19
  7. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, § 29, Satz 7
  8. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, § 29, Korollar 8
  9. J. Duncan, S. A. R. Hosseiniun: The second dual of a Banach algebra, Proceedings Royal Soc. Edinburgh, Band 84 (1979), Seiten 309–325, § 2, Satz 1
  10. J. Duncan, S. A. R. Hosseiniun: The second dual of a Banach algebra, Proceedings Royal Soc. Edinburgh, Band 84 (1979), Seiten 309–325, § 2, Korollar zu Theorem 1
  11. A. Ülger: Arens Regularity of the Algebra C(K,A), Journal London Mathematical Society, Band S2-42, Ausgabe 2 (1989), Seiten 354–364
  12. A. Ülger: Arens regularity of the algebra A⊗B, Trans. Amer. Math. Soc., Band 305 (1988), Seiten 623–639