Arcsin-Verteilung

Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Arcsin-Verteilung, auch Arkussinus-Verteilung genannt, ist eine univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist ein Spezialfall der Beta-Verteilung mit den Parametern und spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der brownschen Bewegung.

Arcsin-Verteilung
Dichtefunktion
Arcsin-Dichteverteilung
Verteilungsfunktion
Arcsin-Verteilungsfunktion
Parameter keine
Träger
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Erwartungswert
Median
Modus
Varianz
Schiefe

Definition

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Die Arcsin-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf  . Sie ist definiert durch ihre Verteilungsfunktion

 

und ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

 .

Eigenschaften

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Es sei   eine arcsin-verteilte Zufallsvariable.

Erwartungswert und Varianz

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Der Erwartungswert ergibt sich zu

 

und die Varianz zu

 .

Symmetrie

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Die Arcsin-Verteilung ist symmetrisch um 0,5.

Arcsin-Gesetze

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Es gibt eine Vielzahl von Arcsin-Gesetzen. Veröffentlichungen dazu stammen unter anderem von Paul Lévy, Paul Erdős, Mark Kac und Erik Sparre Andersen. Nach ihnen sind die Arcsin-Gesetze zum Teil benannt.

Die folgenden Arcsin-Gesetze treffen Aussagen über die Dauer, wie lange sich ein stochastischer Prozess im positiven Bereich aufhält. Es können stattdessen auch die Abbildungen:

  • frühester Zeitpunkt eines Maximums und
  • dem Zeitpunkt, wann zum letzten Mal der Ursprung gekreuzt wird

betrachtet werden, wobei dann gegebenenfalls weitere Annahmen getroffen werden müssen.

Arcsin-Gesetz von Paul Lévy

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Die Zeitlängen, die ein eindimensionaler Standard-Wiener-Prozess   positiv ist, sind arcsin-verteilt. Das heißt für

 ,

gilt

 ,

wobei   das eindimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet.[1][2]

Arcsin-Gesetz von Paul Erdős und Mark Kac

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Sei   eine Folge von eindimensionalen, unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen. Weiter wird angenommen, dass sie Erwartungswert 0 und Varianz 1 haben. Die fortlaufenden Anzahlen der Summen

 ,

die positiv sind, sind definiert durch

 .

Dann gilt die folgende Konvergenz in Verteilung

 .[3]

Die Annahmen können variiert werden, sofern der Zentrale Grenzwertsatz weiterhin für   gilt.

Arcsin-Gesetz von Erik Sparre Andersen

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Sei   eine Folge von Zufallsvariablen. Zu jeder Auswahl von endlich vielen Zufallsvariablen existieren die gemeinsamen Dichten und diese sind invariant bezüglich s-Permutationen. Eine s-Permutation besteht aus der Kompositionen einer Permutation und Vorzeichenwechsel in beliebigen Koordinaten. Dann gilt analog zum Arcsin-Gesetz von Erdős und Kac für die Summen   und die die Anzahl von positiven Zufallsvariablen   die folgende Konvergenz in Verteilung

 .[4]

Diskrete Arcsin-Verteilung

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Beispiele zur Wahrscheinlichkeitsfunktion   der diskreten Arcsin-Verteilung, wobei   einem Parameter und   einer Ausprägung entspricht.

In der Fluktuationstheorie konnte Erik Sparre Andersen zeigen, dass die sogenannte diskrete Arcsin-Verteilung von Bedeutung ist. Diese ist für jeden Parameter   durch ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion

 

und ihre Verteilungsfunktion

 

definiert.

Der Name ist durch ihr Konvergenzverhalten zur Arcsin-Verteilung begründet, so gilt die gleichmäßige Konvergenz

 .

Erik Sparre Andersen zeigte die entsprechende Konvergenz in Verteilung im gleichen Zug mit dem vorigen Arcsin-Gesetz.

Literatur

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  • William Feller: An introduction to probability theory and its applications. Band 2. Wiley, 1971.
  • Konrad Jacobs: Discrete Stochastics. Birkhäuser, Basel 2012, ISBN 3-0348-8645-4.

Fußnoten

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  1. Bauer, Heinz: Wahrscheinlichkeitstheorie. de Gruyter, 2002, S. 491–492.
  2. Paul Lévy: Sur certains processus stochastiques homogènes, Compositio Mathematica. Band 7, 1939, S. 283–339.
  3. Paul Erdős, Mark Kac: On the number of positive sums of independent random variables. In: Bull. Amer. Math. Soc. Band 53, Nr. 10, 1947, S. 1011–1020.
  4. Erik Sparre Andersen: On the Number of Positive Sums of Random Variables. In: Scandinavian Actuarial Journal. Band 1949, Nr. 1, 1949, S. 27–36, doi:10.1080/03461238.1949.10419756.