Airy-Funktion

mathematische Funktion

Die Airy-Funktion bezeichnet eine spezielle Funktion in der Mathematik. Die Funktion und die verwandte Funktion , die ebenfalls Airy-Funktion genannt wird, sind Lösungen der linearen Differentialgleichung

auch bekannt als Airy-Gleichung. Sie beschreibt unter anderem die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen linearen Potentialtopf.

Die Airy-Funktion ist nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy benannt, der diese Funktion in seinen Arbeiten in der Optik verwendete (Airy 1838). Die Bezeichnung wurde von Harold Jeffreys eingeführt.

DefinitionBearbeiten

Für reelle Werte   ist die Airy-Funktion als Parameterintegral definiert:

 

Eine zweite, linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung ist die Airy-Funktion zweiter Art  :

 

EigenschaftenBearbeiten

Asymptotisches VerhaltenBearbeiten

Für   gegen   lassen sich   und   mit Hilfe der WKB-Näherung approximieren:

 

Für   gegen   gelten die Beziehungen:

 

NullstellenBearbeiten

Die Airy-Funktionen haben nur Nullstellen auf der negativen reellen Achse.[1] Die ungefähre Lage folgt aus dem asymptotischen Verhalten für   zu

 
 

Spezielle WerteBearbeiten

Die Airy-Funktionen und ihre Ableitungen haben für   die folgenden Werte:

 

Hierbei bezeichnet   die Gammafunktion. Es folgt, dass die Wronski-Determinante von   und   gleich   ist.

Fourier-TransformierteBearbeiten

Direkt aus der Definition der Airy-Funktion   (siehe oben) folgt deren Fourier-Transformierte.

 

Man beachte die hier verwendete symmetrische Variante der Fourier-Transformation.

Weitere DarstellungenBearbeiten

 
 
 
 
  • Eine andere unendliche Integraldarstellung für   lautet
 
  • Es gibt die Reihendarstellungen[2]
 
 

Komplexe ArgumenteBearbeiten

  und   sind ganze Funktionen. Sie lassen sich also auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortsetzen.

       
       
       


       
       
       

Verwandte FunktionenBearbeiten

Airy-Zeta-FunktionBearbeiten

Zu der Airy-Funktion lässt sich analog zu den anderen Zeta-Funktionen die Airysche Zeta-Funktion definieren als[3]

 

wobei die Summe über die reellen (negativen) Nullstellen von   geht.

Scorersche FunktionenBearbeiten

 
Funktionsgraphen von   und  .

Manchmal werden auch die beiden weiteren Funktionen   und   zu den Airy-Funktionen dazugerechnet. Die Integral-Definitionen lauten[4]

 
 

Sie lassen sich auch durch die Funktionen   und   darstellen.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Airy-Funktion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Eric W. Weisstein: Airy Function Zeros. In: MathWorld (englisch).
  2. C. Banderier, P. Flajolet, G. Schaeffer, M. Soria: Planar Maps and Airy Phenomena. In Automata, Languages and Programming. Proceedings of the 27th International Colloquium (ICALP 2000) held at the University of Geneva, Geneva, 9.–15. Juli 2000 (Ed. U. Montanari, J. D. P. Rolim, E. Welzl). Berlin: Springer, S. 388–402, 2000
  3. Eric W. Weisstein: Airy Zeta Function. In: MathWorld (englisch).
  4. Milton Abramowitz und Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1954, Seite 447