Parameterintegral

Integral, dessen Integrand von einem Parameter abhängt

Als Parameterintegral wird in der Analysis ein Integral bezeichnet, dessen Integrand von einem Parameter abhängt. Ein wichtiges Beispiel ist die eulersche Darstellung der Gammafunktion. Der Wert eines solchen Integrals ist dann eine Funktion des Parameters und es stellt sich beispielsweise die Frage, ob diese Funktion stetig oder differenzierbar ist.

Definition des ParameterintegralsBearbeiten

Es seien   ein metrischer Raum,   ein Maßraum,   ein Banachraum und  . Für alle   sei   über   integrierbar bezüglich des Maßes  . Dann heißt  

 

Parameterintegral mit dem Parameter  .

Beispiel für Parameterintegrale
Die Gammafunktion
 

Stetigkeit von ParameterintegralenBearbeiten

Sei   ein metrischer Raum,   ein Maßraum,   ein Banachraum. Für eine Abbildung   gelte

  •   für jedes  ,
  •   (also stetig) für  -f.a.  ,
  • Es gibt ein   mit   für  .

Dann ist

 

wohldefiniert und stetig.

Differenzierbarkeit von ParameterintegralenBearbeiten

Sei   offen,   ein Maßraum,   ein Banachraum. Für eine Abbildung   gelte

  •   für jedes  ,
  •   (also stetig differenzierbar) für  -f.a.  ,
  • Es gibt ein   mit   für  .

Dann ist

 

stetig differenzierbar mit

 

Unter geeigneten Voraussetzungen können also Differentiation nach einem Parameter und Integration vertauscht werden.

Leibnizregel für ParameterintegraleBearbeiten

Folgender Spezialfall tritt manchmal auf: Sei

 

wobei die Funktion  ,  , stetig mit stetiger partieller Ableitung nach der ersten Variablen,   ist und   stetig differenzierbar sind. Dann ist   auf dem offenen Intervall   stetig differenzierbar, mit

 

HerleitungBearbeiten

Zur Herleitung kann man die Funktion   definieren und zeigen, dass sie auf   stetig differenzierbar ist:   existiert wegen der Differenzierbarkeit des Parameterintegrals und ist stetig wegen der Stetigkeit des Parameterintegrals. Existenz und Stetigkeit von   und   folgt aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Mit der Kettenregel ergibt sich dann

 

LiteraturBearbeiten