Als Parameterintegral wird in der Analysis ein Integral bezeichnet, dessen Integrand von einem Parameter abhängt. Ein wichtiges Beispiel ist die eulersche Darstellung der Gammafunktion . Der Wert eines solchen Integrals ist dann eine Funktion des Parameters und es stellt sich beispielsweise die Frage, ob diese Funktion stetig oder differenzierbar ist.
Definition des Parameterintegrals Bearbeiten
Es seien
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
(
Ω
,
A
,
μ
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}
(
E
,
‖
⋅
‖
)
{\displaystyle (E,\Vert \cdot \Vert )}
Banachraum und
f
:
X
×
Ω
→
E
{\displaystyle f\colon X\times \Omega \to E}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
ω
↦
f
(
x
,
ω
)
{\displaystyle \omega \mapsto f(x,\omega )}
Ω
{\displaystyle \Omega }
μ
{\displaystyle \mu }
F
:
X
→
E
{\displaystyle F\colon X\to E}
F
(
x
)
=
∫
Ω
f
(
x
,
ω
)
μ
(
d
ω
)
{\displaystyle F(x)=\int _{\Omega }f(x,\omega )\,\mu (\mathrm {d} \omega )}
Parameterintegral mit dem Parameter
x
{\displaystyle x}
Beispiel für Parameterintegrale
Die Gammafunktion
Γ
(
x
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
e
−
t
d
t
.
{\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t.}
Stetigkeit von Parameterintegralen Bearbeiten
Sei
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
(
Ω
,
A
,
μ
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}
(
E
,
‖
⋅
‖
)
{\displaystyle (E,\Vert \cdot \Vert )}
f
:
X
×
Ω
→
E
{\displaystyle f\colon X\times \Omega \to E}
f
(
x
,
⋅
)
∈
L
1
(
Ω
,
μ
,
E
)
{\displaystyle f(x,\cdot )\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,E)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
(
⋅
,
ω
)
∈
C
(
X
,
E
)
{\displaystyle f(\cdot ,\omega )\in C(X,E)}
μ
{\displaystyle \mu }
ω
∈
Ω
{\displaystyle \omega \in \Omega }
Es gibt ein
g
∈
L
1
(
Ω
,
μ
,
R
)
{\displaystyle g\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,\mathbb {R} )}
‖
f
(
x
,
ω
)
‖
⩽
g
(
ω
)
{\displaystyle \Vert f(x,\omega )\Vert \leqslant g(\omega )}
(
x
,
ω
)
∈
X
×
Ω
{\displaystyle (x,\omega )\in X\times \Omega }
Dann ist
F
:
X
→
E
,
x
↦
∫
Ω
f
(
x
,
ω
)
μ
(
d
ω
)
{\displaystyle F\colon X\to E,\ x\mapsto \int _{\Omega }f(x,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega )}
wohldefiniert und stetig.
Differenzierbarkeit von Parameterintegralen Bearbeiten
Sei
U
⊂
R
d
{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{d}}
(
Ω
,
A
,
μ
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}
(
E
,
‖
⋅
‖
)
{\displaystyle (E,\Vert \cdot \Vert )}
f
:
U
×
Ω
→
E
{\displaystyle f\colon U\times \Omega \to E}
f
(
u
,
⋅
)
∈
L
1
(
Ω
,
μ
,
E
)
{\displaystyle f(u,\cdot )\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,E)}
u
∈
U
{\displaystyle u\in U}
f
(
⋅
,
ω
)
∈
C
1
(
U
,
E
)
{\displaystyle f(\cdot ,\omega )\in C^{1}(U,E)}
μ
{\displaystyle \mu }
ω
∈
Ω
{\displaystyle \omega \in \Omega }
Es gibt ein
g
∈
L
1
(
Ω
,
μ
,
R
)
{\displaystyle g\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,\mathbb {R} )}
‖
∂
u
f
(
u
,
ω
)
‖
⩽
g
(
ω
)
{\displaystyle \Vert \partial _{u}f(u,\omega )\Vert \leqslant g(\omega )}
(
u
,
ω
)
∈
U
×
Ω
{\displaystyle (u,\omega )\in U\times \Omega }
Dann ist
F
:
U
→
E
,
u
↦
∫
Ω
f
(
u
,
ω
)
μ
(
d
ω
)
{\displaystyle F\colon U\to E,\ u\mapsto \int _{\Omega }f(u,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega )}
stetig differenzierbar mit
∂
j
F
(
u
)
=
∫
Ω
∂
∂
u
j
f
(
u
,
ω
)
μ
(
d
ω
)
,
u
∈
U
,
1
⩽
j
⩽
d
.
{\displaystyle \partial _{j}F(u)=\int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial u^{j}}}f(u,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega ),\quad u\in U,\quad 1\leqslant j\leqslant d.}
Unter geeigneten Voraussetzungen können also Differentiation nach einem Parameter und Integration vertauscht werden.
Leibnizregel für Parameterintegrale Bearbeiten
Folgender Spezialfall tritt manchmal auf: Sei
F
(
t
)
=
∫
a
(
t
)
b
(
t
)
f
(
t
,
x
)
d
x
,
{\displaystyle F(t)=\int \limits _{a(t)}^{b(t)}f(t,x)\mathrm {d} x,}
wobei die Funktion
f
:
(
α
,
β
)
×
(
c
,
d
)
→
R
{\displaystyle f:(\alpha ,\beta )\times (c,d)\to \mathbb {R} }
(
t
,
x
)
↦
f
(
t
,
x
)
{\displaystyle (t,x)\mapsto f(t,x)}
partieller Ableitung nach der ersten Variablen,
∂
∂
t
f
:
(
α
,
β
)
×
(
c
,
d
)
→
R
{\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}f:(\alpha ,\beta )\times (c,d)\to \mathbb {R} }
a
,
b
:
(
α
,
β
)
→
(
c
,
d
)
{\displaystyle a,b:(\alpha ,\beta )\to (c,d)}
F
{\displaystyle F}
(
α
,
β
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta )}
F
′
(
t
)
=
f
(
t
,
b
(
t
)
)
b
′
(
t
)
−
f
(
t
,
a
(
t
)
)
a
′
(
t
)
+
∫
a
(
t
)
b
(
t
)
∂
∂
t
f
(
t
,
x
)
d
x
.
{\displaystyle F'(t)=f(t,b(t))b'(t)-f(t,a(t))a'(t)+\int \limits _{a(t)}^{b(t)}{\tfrac {\partial }{\partial t}}f(t,x)\mathrm {d} x.}
Zur Herleitung kann man die Funktion
G
(
t
,
u
,
v
)
=
∫
u
v
f
(
t
,
x
)
d
x
{\displaystyle G(t,u,v)=\int \limits _{u}^{v}f(t,x)\mathrm {d} x}
(
α
,
β
)
×
(
c
,
d
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta )\times (c,d)}
stetig differenzierbar ist:
∂
∂
t
G
{\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}G}
Differenzierbarkeit des Parameterintegrals und ist stetig wegen der Stetigkeit des Parameterintegrals . Existenz und Stetigkeit von
∂
∂
u
G
{\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial u}}G}
∂
∂
v
G
{\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial v}}G}
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung .
Mit der Kettenregel ergibt sich dann
F
′
(
t
)
=
d
d
t
G
(
t
,
a
(
t
)
,
b
(
t
)
)
=
∂
∂
t
G
(
t
,
a
(
t
)
,
b
(
t
)
)
⋅
1
+
∂
∂
u
G
(
t
,
a
(
t
)
,
b
(
t
)
)
a
′
(
t
)
+
∂
∂
v
G
(
t
,
a
(
t
)
,
b
(
t
)
)
b
′
(
t
)
=
∫
a
(
t
)
b
(
t
)
∂
∂
t
f
(
t
,
x
)
d
x
−
f
(
t
,
a
(
t
)
)
a
′
(
t
)
+
f
(
t
,
b
(
t
)
)
b
′
(
t
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}F'(t)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}G(t,a(t),b(t))={\tfrac {\partial }{\partial t}}G(t,a(t),b(t))\cdot 1+{\tfrac {\partial }{\partial u}}G(t,a(t),b(t))a'(t)+{\tfrac {\partial }{\partial v}}G(t,a(t),b(t))b'(t)\\&=\int \limits _{a(t)}^{b(t)}{\tfrac {\partial }{\partial t}}f(t,x)\mathrm {d} x-f(t,a(t))a'(t)+f(t,b(t))b'(t).\end{aligned}}}
