2-Brücken-Knoten

mathematische Klasse von Verschlingungen

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind 2-Brücken-Knoten bzw. 2-Brücken-Verschlingungen (auch: Knoten bzw. Verschlingungen mit 2 Brücken) eine Klasse von Knoten bzw. Verschlingungen. Sie wurden unter dem Namen Viergeflechte 1956 von Horst Schubert klassifiziert. Weil sie durch eine rationale Zahl klassifiziert werden können, werden sie häufig auch als rationale Knoten bzw. rationale Verschlingungen bezeichnet.

Definition

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Ein 2-Brūckenknoten ist ein Knoten  , dessen Brückenzahl

 

ist. Das bedeutet, dass er sich so in   Intervalle zerlegen lässt, dass für eine geeignete Ebene   jeweils   Intervalle in beiden von der Ebene berandeten Halbräumen liegen. (Äquivalent kann man auch verlangen, dass   Intervalle in einer Ebene und die anderen beiden Intervalle in einem der berandeten Halbräume liegen.)

Analog definiert man eine Verschlingung mit 2 Brücken als eine Verschlingung   mit Brückenzahl  .

Eine äquivalente Definition besagt, dass der Knoten bzw. die Verschlingung nach einer geeigneten Isotopie genau 2 Maxima bzgl. einer Höhenfunktion   hat.

Conway-Normalform

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Schematische Darstellung einer 2-Brücken-Verschlingung

Aus der unten stehenden Klassifikation ergibt sich, dass man jede Verschlingung mit 2 Brücken wie im Bild rechts darstellen kann, wobei   die Anzahl der Halbtwists in der jeweiligen Box bezeichnet und für gerade bzw. ungerade   positive   links- bzw. rechtshändigen Halbtwists entsprechen.

Diese Darstellung wird als Conway-Normalform bezeichnet.

Man kann stets erreichen, dass alle   dasselbe Vorzeichen haben.[1] Insbesondere gibt die Conway-Normalform dann ein alternierendes Knotendiagramm.[2]

Klassifikation

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Die über einer 2-Brücken-Verschlingung verzweigte 2-fache Überlagerung der 3-Sphäre ist ein Linsenraum  . Die 2-Brücken-Verschlingungen werden durch diese Linsenräume klassifiziert. Man bezeichnet deshalb mit   diejenige Verschlingung, für die man den Linsenraum   erhält.

Insbesondere entsprechen zwei rationale Zahlen   und   genau dann isotopen Verschlingungen, wenn

  und entweder   oder   ist.

Modulo dieser Identitäten werden 2-Brücken-Verschlingungen also durch eine rationale Zahl   klassifiziert, wobei man   und   annehmen kann.[3]

In der oben beschriebenen Conway-Normalform entspricht   dem Kettenbruch  :

 

(Die Kettenbruchdarstellung einer rationalen Zahl   ist nicht eindeutig, aber alle Kettenbruchzerlegungen ergeben denselben Knoten  .)

Das Spiegelbild eines 2-Brücken-Knotens   ist  . Einen orientierungsumdrehenden Homöomorphismus   zwischen zwei unterschiedlichen 2-Brücken-Knoten gibt es genau dann, wenn

  und entweder   oder   ist.

Insbesondere ist ein 2-Brücken-Knoten genau dann amphichiral, wenn   ist.

Für 2-Brücken-Verschlingungen (mit 2 Komponenten) gibt es einen orientierungserhaltenden Homöomorphismus genau dann, wenn

  und entweder   oder   ist.[4]

Beispiele

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Die einzigen Torusknoten unter den 2-Brücken-Knoten sind die  -Torusknoten.[5]

Alle 2-Brücken-Knoten, die keine Torusknoten sind, sind hyperbolische Knoten.

Die Kleeblattschlinge ist der 2-Brücken-Knoten   mit Conway-Normalform  , der Achterknoten ist der 2-Brücken-Knoten   mit Conway-Normalform  .

KnotInfo gibt eine Liste aller 2-Brücken-Knoten mit bis zu 12 Kreuzungen und berechnet die bekannten Knoteninvarianten.[6]

  ist genau dann ein Knoten, wenn   ungerade ist. Wenn   gerade ist, dann besteht die 2-Brücken-Verschlingung aus zwei Komponenten.

Eigenschaften und Invarianten

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Die Knotengruppe der 2-Brücken-Verschlingung   hat die Präsentierung

 

mit  .

Die inkompressiblen Flächen in den Komplementen von 2-Brückenknoten wurden von Hatcher und Thurston klassifiziert.[7] Insbesondere bewiesen sie, dass es keine geschlossenen inkompressiblen Flächen gibt. Wenn   kein Torusknoten ist, dann gibt jede Dehn-Chirurgie eine irreduzible 3-Mannigfaltigkeit und fast alle Dehn-Chirurgien geben Mannigfaltigkeiten, die keine Haken-Mannigfaltigkeit und auch keine Seifert-Faserung sind.

Bereits Schubert bewies, dass die 2-fachen verzweigten Überlagerungen Linsenräume sind. Die Klassifikation aller endlichen verzweigten Überlagerungen wurde von Minkus erarbeitet.[8]

Die Komplemente hyperbolischer 2-Brückenknoten (mit Ausnahme des Achterknotens) sind zu keinen anderen Knotenkomplementen außer sich selbst kommensurabel.[9]

Es gibt Formeln für die Berechnung des HOMFLY-Polynoms und insbesondere des Jones-Polynoms von 2-Brücken-Knoten.[10]

Siehe auch

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Literatur

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  • Horst Schubert: Knoten mit zwei Brücken, Mathematische Zeitschrift 65, 133–170 (1956). doi:10.1007/BF01473875
  • John Conway: An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties. Computational Problems in Abstract Algebra (Proc. Conf., Oxford, 1967) 329–358, Pergamon, Oxford (1970). PDF
  • Laurent Siebenmann: Exercices sur les noeuds rationnels, Université Paris-Sud (1975).
  • Louis H. Kauffman, Sofia Lambropoulou: On the classification of rational knots, L' Enseignement Mathématique, 49, 357–410 (2003). ArXiv
  • C. C. Adams, Das Knotenbuch. Einführung in die mathematische Theorie der Knoten, Spektrum Akademischer Verlag (1995), ISBN 3-86025-338-7
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Einzelnachweise

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  1. Exercise 9.2.6 in: Kunio Murasugi: Knot theory & its applications. Translated from the 1993 Japanese original by Bohdan Kurpita. Reprint of the 1996 translation, Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2008, ISBN 978-0-8176-4718-6
  2. Carl Bankwitz, Hans Georg Schumann: Über Viergeflechte. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 10 (1934), no. 1, 263–284.
  3. Murasugi, op.cit., S. 189.
  4. Schubert, op. cit.
  5. Jennifer Schultens: Bridge numbers of torus knots. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 143 (2007), no. 3, 621–625. (Der Satz geht ursprünglich auf Horst Schubert zurück.)
  6. KnotInfo:
  7. Allen Hatcher, William Thurston: Incompressible surfaces in 2-bridge knot complements. Invent. Math. 79 (1985), no. 2, 225–246.
  8. Jerome Minkus: The branched cyclic coverings of 2 bridge knots and links. Mem. Amer. Math. Soc. 35 (1982), no. 255
  9. Alan Reid, Genevieve Walsh: Commensurability classes of 2-bridge knot complements. Algebr. Geom. Topol. 8 (2008), no. 2, 1031–1057.
  10. Shigekazu Nakabo: Formulas on the HOMFLY and Jones polynomials of 2-bridge knots and links. Kobe J. Math. 17 (2000), no. 2, 131–144.