Das Jones-Polynom ist eine der wichtigsten Invarianten von Knoten und Verschlingungen, die in der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Topologie, untersucht wird. Es ist ein Laurent-Polynom in .

Es wurde 1984 von Vaughan F. R. Jones entdeckt, der unter anderem dafür 1990 die Fields-Medaille erhielt.

Definition durch Kauffman-Klammer Bearbeiten

Sei   eine Verschlingung. Das Kauffman-Klammerpolynom   ist ein zu einem Diagramm von   assoziiertes Laurent-Polynom in  . Das normierte Kauffman-Polynom wird dann definiert durch die Formel  , wobei   die Verwringung von   bezeichnet.   ist invariant unter Reidemeister-Bewegungen und definiert deshalb eine Invariante von Verschlingungen. Das Jones-Polynom   erhält man, indem man   in   substituiert.

Definition durch Zopfgruppendarstellungen Bearbeiten

Sei   eine Verschlingung. Nach einem Satz von Alexander ist   der Abschluss eines Zopfes mit   Komponenten. Eine Darstellung   der Zopfgruppe   in die Temperley–Lieb-Algebra   mit Koeffizienten in   und   wird definiert, indem man den Erzeuger   auf   abbildet, wobei   die Erzeuger der Temperley–Lieb-Algebra sind.

Sei   der zu   assoziierte Zopf. Berechne  , wobei   die Markov-Spur ist. Das gibt das Klammerpolynom  , aus dem dann wie im vorhergehenden Abschnitt das Jones-Polynom berechnet werden kann.

Definition durch Skein-Relationen Bearbeiten

Man kann das Jones-Polynom (eindeutig) dadurch charakterisieren, dass es dem trivialen Knoten den Wert 1 zuordnet und die folgende Skein-Relation erfüllt:

 

wobei  ,   und   orientierte Linkdiagramme sind, die sich innerhalb eines kleinen Gebietes wie im Bild unten unterscheiden und außerhalb dieses Gebietes identisch sind.

 
Skein-Relationen

Definition durch Chern-Simons-Theorie Bearbeiten

Das Jones-Polynom kann nach Edward Witten mit einer topologischen Quantenfeldtheorie, der Chern-Simons-Theorie, definiert werden.[1]

Anwendungen Bearbeiten

Kauffman, Murasugi und Thistlethwaite benutzten das Jones-Polynom, um eine der aus dem 19. Jahrhundert stammenden Tait-Vermutungen zu beweisen: Für einen alternierenden Knoten hat jedes reduzierte Diagramm die kleinstmögliche Kreuzungszahl.

Unterscheidbarkeit von Knoten mittels Jones-Polynom Bearbeiten

Es ist eine offene Frage, ob der Unknoten der einzige Knoten mit trivialem Jones-Polynom ist. Es gibt jedenfalls unterschiedliche Knoten mit demselben Jones-Polynom, zum Beispiel haben Mutationen eines Knotens dasselbe Jones-Polynom.

Spezielle Werte Bearbeiten

  • Für einen Knoten ist  , für eine Verschlingung mit   Komponenten ist  .
  • Falls die Arf-Invariante definiert ist, ist  .
  •  .
  • Die Werte in Einheitswurzeln sind in der Chern-Simons-Theorie von Bedeutung.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Vaughan F. R. Jones: A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras. In: Hyman Bass, Meyer Jerison, Calvin C. Moore (Hrsg.): Bulletin of the American Mathematical Society (New Series). Vol. 12, Nr. 1. American Mathematical Society, 1985, ISSN 0273-0979, S. 103–111, doi:10.1090/S0273-0979-1985-15304-2 (ams.org [PDF; abgerufen am 2. Dezember 2012]).
  • Louis H. Kauffman: State models and the Jones polynomial. In: Topology. Vol. 26, Nr. 3. Elsevier, 1987, ISSN 0040-9383, S. 395–407, doi:10.1016/0040-9383(87)90009-7 (knot.kaist.ac.kr [PDF; abgerufen am 2. Dezember 2012]).
  • Pierre de la Harpe, Michel Kervaire, Claude Weber: On the Jones polynomial. In: Enseign. Math. (2) 32 (1986), no. 3–4, S. 271–335.
  • W. B. Raymond Lickorish: An introduction to knot theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 175). Springer, New York 1997, ISBN 0-387-98254-X.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Witten, op.cit.