In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Montesinos-Knoten bzw. Montesinos-Verschlingungen eine Klasse von Knoten bzw. Verschlingungen. Fast 25 % aller Knoten mit bis zu 11 Überkreuzungen sind Montesinos-Knoten.

Definition

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Die Montesinos-Verschlingung  .

Seien   eine ganze Zahl und   rationale Zahlen. Die  -Montesinos-Verschlingung ist eine aus   rationalen Tangles bestehende Verschlingung, deren  -ter Tangle in der Conway-Notation der rationalen Zahl   entspricht.

Falls die Verschlingung zusammenhängend ist, handelt es sich um den  -Montesinos-Knoten.

Montesinos-Knoten mit ganzzahligen Koeffizienten (also  ) werden als Brezelknoten bezeichnet.

Verzweigte Überlagerungen

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Montesinos-Knoten   werden durch folgende Eigenschaft charakterisiert: Die 2-fache verzweigte Überlagerung der   über   ist eine Seifert-Faserung mit der 2-Sphäre als Basis.[1][2]

Dies verallgemeinert Schuberts Charakterisierung rationaler Knoten. (In diesem Fall ist die 2-fache verzweigte Überlagerung ein Linsenraum.)

Noch allgemeiner wurde von Montesinos gezeigt, dass die 2-fache verzweigte Überlagerung über einem arboreszenten Knoten eine Graph-Mannigfaltigkeit ist.

Klassifikation

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Eine Klassifikation der Montesinos-Knoten und Montesinos-Verschlingungen wurde 1979 von Bonahon bewiesen,[3] andere Beweise der Klassifikation gaben Zieschang[4] und Turaev.[5]

Das Ergebnis der Klassifikation ist: Montesinos-Verschlingungen aus   rationalen Tangles, mit   und  , werden klassifiziert durch die geordnete Menge

 

(bis auf zyklische Permutationen und Umkehrung der Reihenfolge) zusammen mit der rationalen Zahl

 .

Alternativ werden Montesinos-Verschlingungen klassifiziert durch die Quotienten der Knotengruppe nach dem von den Meridianen erzeugten Normalteiler.

Literatur

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  • Gerhard Burde, Heiner Zieschang: Knots. (= de Gruyter Studies in Mathematics. 5). 2. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2003, ISBN 3-11-017005-1, Kapitel 12.

Einzelnachweise

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  1. José M. Montesinos: Variedades de Seifert que son recubridores ciclicos ramificados de dos hojas. In: Bol. Soc. Mat. Mexicana. (2) Band 18, 1973, S. 1–32.
  2. José M. Montesinos: Revêtements ramifiés de noeuds, espaces fibrés de Seifert et scindements de Heegaard. Prépublications Orsay (1979).
  3. F. Bonahon: Involutions et fibrés de Seifert dans les variétés de dimension 3. Dissertation. Université Paris-Sud XI - Orsay 1979.
  4. Heiner Zieschang: Classification of Montesinos knots. In: Ludwig D. Faddeev, Arkadii A. Malcev (Hrsg.): Topology. (= Lecture Notes in Math. 1060). Topological Conference Leningrad 1982. Springer, Berlin 1984, ISBN 3-540-13337-2, S. 378–389.
  5. V. G. Turaev: Classification of oriented Montesinos links via spin structures. In: Topology and geometry—Rohlin Seminar. (= Lecture Notes in Math. 1346). Springer, Berlin 1988, S. 271–289.