Weylsche Integralformel

In der Mathematik ist die Weylsche Integralformel oder Integralformel von Weyl eine Formel zur Berechnung des Integrals von Funktionen auf kompakten Lie-Gruppen, mit der insbesondere die Berechnung des Integrals von Klassenfunktionen auf eine Integration über den maximalen Torus reduziert werden kann. Sie ist nach Hermann Weyl benannt.

Aussage

Sei $G$ eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe, $T\subset G$ ein maximaler Torus und $f\colon G\to \mathbb {C}$ eine stetige Funktion. Dann ist

$\int _{G}f(g)\,dg={\frac {1}{\#W}}\int _{T}\det(\operatorname {Id} -\operatorname {Ad} _{G/T}(t^{-1}))\int _{G/T}f(gtg^{-1})\,dg\,dt$,

wobei $W$ die Weyl-Gruppe von $G$ und $\operatorname {Ad} _{G/T}\colon T\to \operatorname {Aut} (T_{e}G/T)$ die Einschränkung der adjungierten Darstellung $\operatorname {Ad} \mid _{T}$ auf den ersten Summanden der $\operatorname {Ad} \mid _{T}$-invarianten Zerlegung ${\mathfrak {g}}=T_{e}(G/T)\oplus {\mathfrak {t}}$ bedeutet.

Spezialfall

Insbesondere erhält man für eine stetige Klassenfunktion

$\int _{G}f(g)\,dg={\frac {1}{\#W}}\int _{T}\det(\operatorname {Id} -\operatorname {Ad} _{G/T}(t^{-1}))f(t)\,dt$,

man braucht also nur über den maximalen Torus zu integrieren.

Erläuterungen

Es gilt

$\det(\operatorname {Id} -\operatorname {Ad} _{G/T}(t^{-1}))=\prod _{\alpha >0}\left(e^{\alpha (t)/2}-e^{-\alpha (t)/2}\right)$,

wobei $\alpha (t)$ vom Eigenwertproblem abhängt.

Beispiel

Für $G=\mathbb {U} (n)$ ergibt sich

$\int _{G}f(g)\mathrm {d} g={\frac {1}{n!}}\int _{T}f(\operatorname {diag} (x_{1},\ldots ,x_{n}))|\Delta |^{2}\prod _{i=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{x_{i}}}$,

wobei $\Delta ^{2}$ die Vandermonde-Determinante ist, außerdem ist $\#W=n!$.

Beweis

Der Beweis folgt aus den Eigenschaften der durch

$q(g,t)=gtg^{-1}$

definierten Abbildung

$q\colon G/T\times T\to G$,

nämlich

$\deg(q)=\#W$

für den Abbildungsgrad und

$\det(\mathrm {d} q(gT,t))=\det(\operatorname {Ad} _{G/T}(t^{-1})-\operatorname {Id} )$

für die Determinante des Differentials von $q$.

Literatur

• T. Bröcker, T. tom Dieck: Representations of compact Lie groups. Springer Verlag New York 1985.
• M. Sepanski: Compact Lie groups. Springer Verlag New York 2007.