Ein unverfälschter Konfidenzbereich, auch unverfälschte Bereichsschätzfunktion oder unverzerrter Konfidenzbereich ist ein spezieller Konfidenzbereich in der mathematischen Statistik. Die Unverfälschtheit selbst ist kein Optimalitätsbegriff, ermöglicht aber die Konstruktion von optimalen Konfidenzbereichen wie von Konfidenzbereichen mit minimalem Volumen. Ist der Konfidenzbereich eindimensional, so spricht man entsprechend von einem unverfälschten/unverzerrten Konfidenzintervall bzw. von einer unverfälschten Intervallschätzfunktion.

Definition

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Gegeben sei ein statistisches Modell   sowie ein Entscheidungsraum   und eine zu schätzende Funktion

 ,

die im parametrischen Fall auch als Parameterfunktion bezeichnet wird.

Ein Konfidenzbereich

 

zum Konfidenzniveau   heißt ein unverfälschter Konfidenzbereich, wenn für alle  

 

gilt.[1] Für jedes   ist also die Wahrscheinlichkeit, den richtigen Parameter   zu überdecken, größer als die Wahrscheinlichkeit einen beliebigen anderen Parameter   zu überdecken.

Beispiel

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Gegeben sei das Normalverteilungsmodell mit bekannter Varianz   und unbekanntem Erwartungswert, also das statistische Modell  , versehen mit der Verteilungsklasse  . Überdeckt werden soll der Erwartungswert  , die Parameterfunktion ist demnach gegeben durch

 .

Ein beidseitiger Konfidenzbereich für den Erwartungswert   ist beispielsweise gegeben durch

 .

Dabei ist   das  -Quantil der Standardnormalverteilung und   das Stichprobenmittel.

Der Konfidenzbereich ist unverfälscht, denn es ist für   immer

 ,

wobei   die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet. Der letzte Ausdruck ist aber maximal für  , also ist der Konfidenzbereich unverfälscht.

Allgemeine Definition über Formhypothesen

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Unter denselben Rahmenbedingungen wie oben heißt ein Konfidenzbereich   zu den Formhypothesen   und zu dem Konfidenzniveau   ein unverfälschter Konfidenzbereich, wenn für alle  

  für alle  

ist.[2]

Jeder Wert aus der „zu vermeidenden Menge“   wird also seltener überdeckt als jeder Wert aus der „zu überdeckenden Menge“   (siehe hierzu Formhypothesen#Konfidenzbereiche zu Formhypothesen)

Die erste Formulierung ergibt sich bei Verwendung der Formhypothesen

  und  

und der Annahme, dass   injektiv ist.

Verwandte Begriffe

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Der korrespondierende Begriff für statistische Tests im Sinne der Dualität von Tests und Konfidenzbereichen sind die unverfälschten Tests.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 142, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.
  2. Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 241, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.