Parameterfunktion (Statistik)

Begriff aus der Statistik

Eine Parameterfunktion ist in der mathematischen Statistik eine Funktion, die bei einem parametrischen statistischen Modell jedem Parameter der Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen einen Funktionswert zuordnet, der dann mittels eines Punktschätzers geschätzt werden soll oder von einem Bereichsschätzer überdeckt werden soll. Meist übernimmt die Parameterfunktion nur die technische Aufgabe, den Elementen der Parametermenge Elemente des Entscheidungsraumes zuzuordnen. Im Rahmen der Erwartungstreue eines Schätzers ist die Wahl der Parameterfunktion aber durchaus relevant, da nicht jede Parameterfunktion erwartungstreu geschätzt werden kann.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein parametrisches statistisches Modell   mit Parametermenge   sowie ein Entscheidungsraum  . Dann heißt eine Funktion   Parameterfunktion.

BeispielBearbeiten

Gegeben sei das statistische Modell

 ,

das den 100-fachen Münzwurf modelliert und die Parametermenge   besitzt. Standardmäßig wählt man dann meist als Parameterfunktion

 ,

also als Entscheidungsraum   versehen mit  . Jetzt kann man mit Punktschätzern wie dem Stichprobenmittel versuchen, den Wert der Parameterfunktion zu schätzen, der in diesem Fall mit dem Wert des Parameters identisch ist. Eine alternative Parameterfunktion wäre beispielsweise

 

in den Entscheidungsraum   versehen mit  . Jetzt kann man wieder versuchen, den Wert der Parameterfunktion zu schätzen. Punktschätzer wie das Stichprobenmittel, die sich im obigen Fall als gut erwiesen haben, müssen in diesem Fall aber nicht auch gut sein. So hängt ein Schätzer immer auch von der verwendeten Parameterfunktion ab.

LiteraturBearbeiten