Formhypothesen

Als Formhypothesen bezeichnet man in der mathematischen Statistik eine Erweiterung des Standardformalismus bei Konfidenzbereichen. Dabei wird durch die Formhypothesen vorgegeben, welche Werte im Konfidenzbereich enthalten sein sollen und welche nicht. Dies ermögliche die Formulierung von Optimalitätsbegriffen für Konfidenzbereich wie beispielsweise gleichmäßig beste Konfidenzbereiche. Über das duale Konzept der zugehörigen Testhypothesen lässt sich dann eine Beziehung von Konfidenzbereichen und Tests herstellen, mit der sich Konfidenzintervalle aus Test konstruieren lassen und umgekehrt.

FormhypothesenBearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Modell  , wobei   die Indexmenge der Wahrscheinlichkeitsmaße ist. Des Weiteren sei eine zu schätzende Funktion

 

gegeben, die im parametrischen Fall meist als Parameterfunktion bezeichnet wird und in den Entscheidungsraum   abbildet.

Als Formhypothesen zu   wird dann eine Familie   bezeichnet, so dass   und   ist sowie

  für alle  

Anschaulich enthält   alle "korrekten" Werte, welche von dem Konfidenzbereich möglichst überdeckt werden sollen. Analog enthält   alle "inkorrekten" Werte, die möglichst nicht im Konfidenzbereich enthalten sein sollen.

BeispielBearbeiten

Gegeben sei ein einfaches statistisches Modell  , wobei   die Normalverteilung mit Varianz eins ist. Geschätzt werden soll der Mittelwert, also ist

 .

Somit sind die Indexmenge und der Entscheidungsraum beide gleich, es ist  .

Mögliche Formhypothesen wären

  sowie   für alle  .

Diese sagen aus, dass der Bereich, welcher symmetrisch um den Mittelwert liegt möglichst überdeckt werden soll, wohingegen alles außerhalb möglichst nicht überdeckt werden soll. Zu beachten ist, dass in der Definition nicht gefordert wird, dass  , die Hypothesen also für jedes   den Entscheidungsraum disjunkt zerlegen. So wäre in diesem Beispiel durchaus möglich,   oder   zu wählen.

Konfidenzbereiche zu FormhypothesenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Ist ein Konfidenzbereich

 

gegeben sowie Formhypothesen  , so heißt   ein Konfidenzbereich für   zum Konfidenzniveau  , wenn für alle   gilt:

  für alle  .

BeispielBearbeiten

Wählt man als Formhypothesen

 ,

und   beliebig (aber disjunkt), so lautet der Konfidenzbereich zu den Formhypothesen

  für alle  

und entspricht somit genau der klassischen Formulierung eines Konfidenzbereiches zum Konfidenzniveau  .

TesthypothesenBearbeiten

Analog zu den Formhypothesen werden die Testhypothesen zu gegebenen Formhypothesen definiert. Im Gegensatz zu diesen sind sie Teilmengen der Indexmenge   statt des Entscheidungsraumes  .

DefinitionBearbeiten

Gegeben seien Formhypothesen  . Dann heißt  , definiert durch

 

und

 

die Testhypothesen zu den Formhypothesen.

BeispielBearbeiten

Führt man das obige Beispiel fort, so erhält man

 

und

 

In diesem Beispiel sind die Formhypothesen und die Testhypothesen identisch, auch wenn sie formell auf verschiedenen Mengen definiert sind: Einmal auf der Indexmenge   und einmal auf dem Entscheidungsraum  . Im Allgemeinen stimmen diese beiden Mengen nicht überein.

LiteraturBearbeiten