Tschebyschow-Polynome erster Art
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
U
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)}
orthogonaler Polynome , die bedeutende Anwendungen in der Polynominterpolation , in der Filtertechnik und in anderen Gebieten der Mathematik haben.
Sie sind benannt nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow , dessen Name in der Literatur auch als Tschebyscheff, Tschebycheff, Tschebyschew, Tschebyschev, Chebyshev oder Chebychev transkribiert wird.
Tschebyschow-Polynome erster Art sind Lösung der Tschebyschow-Differentialgleichung
(
1
−
x
2
)
y
″
−
x
y
′
+
n
2
y
=
0
,
{\displaystyle \left(1-x^{2}\right)\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0,}
und Tschebyschow-Polynome zweiter Art sind Lösung von
(
1
−
x
2
)
y
″
−
3
x
y
′
+
n
(
n
+
2
)
y
=
0.
{\displaystyle \left(1-x^{2}\right)\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0.}
Beide Differentialgleichungen sind spezielle Fälle der Sturm-Liouvilleschen Differentialgleichung .
Tschebyschow-Polynome erster Art
Bearbeiten
Die Funktionen
y
g
(
x
)
=
1
+
∑
p
=
1
∞
∏
k
=
0
p
−
1
(
(
2
k
)
2
−
n
2
)
(
2
p
)
!
x
2
p
=
1
+
∑
p
=
1
∞
(
−
1
)
p
∏
k
=
0
p
−
1
(
n
2
−
(
2
k
)
2
)
(
2
p
)
!
x
2
p
=
1
−
n
2
2
!
x
2
+
n
2
(
n
2
−
4
)
4
!
x
4
−
n
2
(
n
2
−
4
)
(
n
2
−
16
)
6
!
x
6
±
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}y_{g}(x)&=1+\sum _{p=1}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(\left(2k\right)^{2}-n^{2}\right)}{(2p)!}}x^{2p}=1+\sum _{p=1}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(n^{2}-\left(2k\right)^{2}\right)}{(2p)!}}x^{2p}\\&=1-{n^{2} \over 2!}\,x^{2}+{n^{2}\,\left(n^{2}-4\right) \over 4!}\,x^{4}-{n^{2}\,(n^{2}-4)\,\left(n^{2}-16\right) \over 6!}\,x^{6}\pm \cdots \end{aligned}}}
und
y
u
(
x
)
=
x
+
∑
p
=
1
∞
∏
k
=
0
p
−
1
(
(
2
k
+
1
)
2
−
n
2
)
(
2
p
+
1
)
!
x
2
p
+
1
=
x
+
∑
p
=
1
∞
(
−
1
)
p
∏
k
=
0
p
−
1
(
n
2
−
(
2
k
+
1
)
2
)
(
2
p
+
1
)
!
x
2
p
+
1
=
x
−
n
2
−
1
3
!
x
3
+
(
n
2
−
1
)
(
n
2
−
9
)
5
!
x
5
∓
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}y_{u}(x)&=x+\sum _{p=1}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(\left(2k+1\right)^{2}-n^{2}\right)}{(2p+1)!}}x^{2p+1}=x+\sum _{p=1}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}\left(n^{2}-\left(2k+1\right)^{2}\right)}{\left(2p+1\right)!}}x^{2p+1}\\&=x-{n^{2}-1 \over 3!}\,x^{3}+{\left(n^{2}-1\right)\,\left(n^{2}-9\right) \over 5!}\,x^{5}\mp \cdots \end{aligned}}}
bilden ein Fundamentalsystem für die Tschebyschow-Differentialgleichung.
Tschebyschow-Polynome erster Art der Ordnung 0 bis 5. Für ganzzahlige
n
{\displaystyle n}
Reihen nach endlich vielen Gliedern ab,
y
g
(
x
)
{\displaystyle y_{g}(x)}
y
u
(
x
)
{\displaystyle y_{u}(x)}
n
{\displaystyle n}
T
n
(
1
)
=
1
{\displaystyle T_{n}(1)=1}
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
T
0
(
x
)
=
1
T
1
(
x
)
=
x
T
2
(
x
)
=
2
x
2
−
1
T
3
(
x
)
=
4
x
3
−
3
x
T
4
(
x
)
=
8
x
4
−
8
x
2
+
1
T
5
(
x
)
=
16
x
5
−
20
x
3
+
5
x
T
6
(
x
)
=
32
x
6
−
48
x
4
+
18
x
2
−
1
T
7
(
x
)
=
64
x
7
−
112
x
5
+
56
x
3
−
7
x
T
8
(
x
)
=
128
x
8
−
256
x
6
+
160
x
4
−
32
x
2
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\T_{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\T_{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\\end{aligned}}}
Rekursionsformeln der Tschebyschow-Polynome:
T
n
+
1
(
x
)
=
2
x
T
n
(
x
)
−
T
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle T_{n+1}(x)=2x~T_{n}(x)-T_{n-1}(x)}
und
T
m
n
(
x
)
=
T
m
(
T
n
(
x
)
)
.
{\displaystyle T_{mn}(x)=T_{m}{\bigl (}T_{n}(x){\bigr )}.}
Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen bzw. der Hyperbelfunktionen sind die Tschebyschow-Polynome darstellbar als
T
n
(
x
)
=
{
cos
(
n
arccos
x
)
für
x
∈
[
−
1
,
1
]
cosh
(
n
arcosh
(
x
)
)
für
x
>
1
(
−
1
)
n
cosh
(
n
arcosh
(
−
x
)
)
für
x
<
−
1
{\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \left(n\,\arccos x\right)&{\text{für}}\quad x\in [-1,1]\\\cosh \left(n\,\operatorname {arcosh} (x)\right)&{\text{für}}\quad x>1\\(-1)^{n}\cosh \left(n\,\operatorname {arcosh} (-x)\right)&{\text{für}}\quad x<-1\end{cases}}}
oder
T
n
(
cos
θ
)
=
cos
(
n
θ
)
{\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )}
und auch
T
n
(
x
)
=
(
x
+
x
2
−
1
)
n
+
(
x
−
x
2
−
1
)
n
2
{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {{\bigl (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}{\bigr )}^{n}+{\bigl (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\bigr )}^{n}}{2}}}
[1] Die
n
{\displaystyle n}
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
cos
(
2
j
+
1
2
n
π
)
f
u
¨
r
j
=
0
,
…
,
n
−
1.
{\displaystyle \cos \left({\tfrac {2j+1}{2n}}\,\pi \right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad j=0,\ldots ,n-1.}
Daraus ergibt sich die faktorisierte Darstellung der Tschebyschow-Polynome
T
n
(
x
)
=
2
n
−
1
(
x
−
cos
(
1
2
n
π
)
)
(
x
−
cos
(
3
2
n
π
)
)
…
(
x
−
cos
(
2
n
−
1
2
n
π
)
)
.
{\displaystyle T_{n}(x)=2^{n-1}\left(x-\cos \left({\frac {1}{2n}}\pi \right)\right)\left(x-\cos \left({\frac {3}{2n}}\pi \right)\right)\ldots \left(x-\cos \left({\frac {2n-1}{2n}}\pi \right)\right).}
Die
n
−
1
{\displaystyle n-1}
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
cos
(
j
n
π
)
f
u
¨
r
j
=
1
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle \cos \left({\tfrac {j}{n}}\,\pi \right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad j=1,\ldots ,n-1}
und haben abwechselnd die Werte 1 und −1.
Tschebyschow-Polynome
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
−
1
1
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
⋅
1
1
−
x
2
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\cdot g(x)\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x}
Man kann sich diese daher auch über das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren (mit Normierung) herleiten.
In der Filtertechnik werden die Tschebyschow-Polynome bei den Tschebyscheff-Filtern verwendet.
Bei der Polynominterpolation zeichnen sich diese Polynome durch einen sehr günstigen, gleichmäßigen Fehlerverlauf aus. Dazu sind als Interpolationsstellen die geeignet verschobenen Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms passenden Grades zu verwenden.
Wegen ihrer Minimalität bilden sie auch die Grundlage für die Tschebyschow-Iteration und für Fehlerschranken bei Krylow-Unterraum-Verfahren für Lineare Gleichungssysteme .
Tschebyschow-Polynome zweiter Art
Bearbeiten
Tschebyschow-Polynome zweiter Art der Ordnung 0 bis 5. Auch die Tschebyschow-Polynome zweiter Art
U
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)}
U
0
(
x
)
=
1
U
1
(
x
)
=
2
x
U
n
+
1
(
x
)
=
2
x
U
n
(
x
)
−
U
n
−
1
(
x
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x),\end{aligned}}}
bemerkenswerterweise mit derselben Rekursionsbeziehung wie die
T
n
{\displaystyle T_{n}}
U
−
1
(
x
)
=
0
{\displaystyle U_{-1}(x)=0}
auch für
n
=
0
{\displaystyle n=0}
Die erzeugende Funktion für
U
n
{\displaystyle U_{n}}
∑
n
=
0
∞
U
n
(
x
)
t
n
=
1
1
−
2
t
x
+
t
2
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}}
Die ersten acht Polynome dieser Art sind:
U
0
(
x
)
=
1
U
1
(
x
)
=
2
x
U
2
(
x
)
=
4
x
2
−
1
U
3
(
x
)
=
8
x
3
−
4
x
U
4
(
x
)
=
16
x
4
−
12
x
2
+
1
U
5
(
x
)
=
32
x
5
−
32
x
3
+
6
x
U
6
(
x
)
=
64
x
6
−
80
x
4
+
24
x
2
−
1
U
7
(
x
)
=
128
x
7
−
192
x
5
+
80
x
3
−
8
x
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\end{aligned}}}
Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen sind die Tschebyschow-Polynome zweiter Art zunächst nur für
θ
∈
R
∖
π
Z
{\displaystyle \theta \in \mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} }
U
n
(
cos
θ
)
=
sin
(
(
n
+
1
)
θ
)
sin
θ
,
{\displaystyle U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}}{\sin \theta }},}
wegen der stetigen Hebbarkeit an diesen Stellen aber für alle
θ
∈
R
{\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }
Dirichlet-Kern
D
n
(
x
)
{\displaystyle D_{n}(x)}
D
n
(
x
)
=
sin
(
(
2
n
+
1
)
x
2
)
sin
x
2
=
U
2
n
(
cos
x
2
)
.
{\displaystyle D_{n}(x)={\frac {\sin \left((2n+1){\dfrac {x}{2}}\right)}{\sin {\dfrac {x}{2}}}}=U_{2n}\left(\cos {\frac {x}{2}}\right).}
Nimmt man Hyperbelfunktionen mit hinzu, dann ist für
x
∈
R
∖
{
−
1
,
1
}
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{-1,1\}}
U
n
(
x
)
=
{
sin
(
(
n
+
1
)
arccos
x
)
/
1
−
x
2
für
|
x
|
<
1
sinh
(
(
n
+
1
)
arcosh
x
)
/
x
2
−
1
für
|
x
|
>
1
{\displaystyle U_{n}(x)={\begin{cases}\sin \left((n+1)\,\arccos x\right)/{\sqrt {1-x^{2}}}&{\text{für}}\quad |x|<1\\\sinh \left((n+1)\,\operatorname {arcosh} \,x\right)/{\sqrt {x^{2}-1}}&{\text{für}}\quad |x|>1\end{cases}}}
Tschebyschow-Polynome
U
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
orthogonal bezüglich des gewichteten Skalarproduktes
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
−
1
1
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
⋅
1
−
x
2
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\cdot g(x)\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x}
Erstmals veröffentlichte Tschebyschow seine Untersuchungen zu den Tschebyschow-Polynomen 1859 und 1881[2]
Sur les questions de minima qui se rattachent a la représentation approximative des fonctions. Oeuvres Band I, 1859, S. 273–378.Sur les fonctions qui s'écartent peu de zéro pour certaines valeurs de la variable. Oeuvres Band II, 1881, S. 335–356. Clenshaw-Algorithmus
Bearbeiten
In der numerischen Mathematik werden Linearkombinationen von Tschebyschow-Polynomen mit dem Clenshaw-Algorithmus ausgewertet.
Il'ja N, Bronstein, Konstantin A. Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig: Taschenbuch der Mathematik ISBN 3-8171-2005-2 . 
).svg)
![{\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \left(n\,\arccos x\right)&{\text{für}}\quad x\in [-1,1]\\\cosh \left(n\,\operatorname {arcosh} (x)\right)&{\text{für}}\quad x>1\\(-1)^{n}\cosh \left(n\,\operatorname {arcosh} (-x)\right)&{\text{für}}\quad x<-1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1777ab79d6de6865bee58e9f1b890efbf886ce)
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
).svg)
