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Trigamma-Funktion

mathematische Funktion
Die Trigammafunktion in der komplexen Zahlenebene.

In der Mathematik ist die Trigamma-Funktion die zweite Polygammafunktion[1]; die erste Polygammafunktion ist die Digammafunktion . Die Trigammafunktion ist damit eine spezielle Funktion und wird üblicherweise mit bezeichnet und als zweite Ableitung der Funktion definiert, wobei die Gammafunktion bezeichnet.

Definition und weitere DarstellungenBearbeiten

Die Definition lautet:

 

Daraus folgt der Zusammenhang mit der Digammafunktion  , dass

 

die Trigammafunktion die Ableitung der Digammafunktion ist.

Aus der Summendarstellung

 

folgt, dass die Trigammafunktion ein Spezialfall der hurwitzschen  -Funktion[2] ist.

Eine Darstellung als Doppelintegral ist

 

Außerdem gilt

 

Berechnung und EigenschaftenBearbeiten

Die asymptotische Berechnung schließt die Bernoulli-Zahlen   ein:

 .

Zwar ist die Reihe für kein   mit   konvergent, jedoch stellt diese Formel für nicht zu groß gewählte   eine sehr gute Näherung dar. Je größer   ist, desto größer kann   gewählt werden.

Die Rekursionsformel der Trigammafunktion lautet:

 

Die Funktionalgleichung der Trigammafunktion hat die Form einer Reflexionsgleichung und ist gegeben durch:

 

Hier ist   der Kosekans.

Spezielle WerteBearbeiten

Es folgt eine Auflistung einiger spezieller Werte der Trigammafunktion, wobei   die Catalansche Konstante,   die Riemannsche Zetafunktion und   die Clausen-Funktion[3] bezeichnet.

 

ReferenzenBearbeiten