Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist der Torus-Satz von Alexander ein Lehrsatz über verknotete Tori in der 3-dimensionalen Sphäre .

Satz von Alexander

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Der Torus-Satz von Alexander besagt: Jeder differenzierbar eingebettete Torus

 

berandet einen in der   eingebetteten Volltorus.

Historische Anmerkung: Alexander bewies diesen Satz ursprünglich nicht für differenzierbare, sondern für PL-Einbettungen.[1]

Verallgemeinerungen

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Der Satz von Alexander gilt analog auch in höheren Dimensionen:

Sei

 

eine differenzierbare Einbettung mit  . Wenn entweder   und   oder   und   gilt, dann ist der Abschluss einer der beiden Komponenten von

 

diffeomeorph zu  .[2][3][4][5][6]

Dagegen gibt es differenzierbar eingebettete 3-Tori  , die keine zu   homöomorphe Untermannigfaltigkeit beranden.[7][8]

Einzelnachweise

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  1. James W. Alexander: On the subdivision of a 3-space by a polyhedron. In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Bd. 10, Nr. 1, 1924, S. 6–8, JSTOR:84201.
  2. Antoni Kosiński: On Alexander's theorem and knotted spheres. In: Marion K. Fort (Hrsg.): Topology of 3-manifolds and related topics. Proceedings of the University of Georgia Institute, 14.08.–08.09.1961. Prentice Hall, Englewood Cliffs N.J. 1962, S. 55–57.
  3. Charles T. C. Wall: Unknotting tori in codimension one and spheres in codimension two. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Bd. 61, Nr. 3, 1965, S. 659–664, doi:10.1017/S0305004100039001.
  4. Richard Z. Goldstein: Piecewise linear unknotting of Sp×Sq in Sp+q+1. In: Michigan Mathematical Journal Bd. 14, Nr. 4, 1967, S. 405–415, doi:10.1307/mmj/1028999841.
  5. J. Hyam Rubinstein: Dehn's lemma and handle decompositions of some 4-manifolds. In: Pacific Journal of Mathematics. Bd. 86, Nr. 2, 1980, S. 565–569, doi:10.2140/pjm.1980.86.565.
  6. Osamu Saeki, Laércio Aparecido Lucas, Manzoli Neto Oziride: A generalization of Alexander's torus theorem to higher dimensions and an unknotting theorem for Sp×Sq embedded in Sp+q+2. In: Kobe Journal of Mathematics. Bd. 13, Nr. 2, 1996, S. 145–165.
  7. Atsuko Katanaga, Osamu Saeki: Embeddings of quaternion space in S4. In: Journal of the Australian Mathematical Society. Series A: Pure Mathematics and Statistics. Bd. 65, Nr. 3, 1998, S. 313–325, doi:10.1017/S1446788700035904.
  8. Laércio Aparecido Lucas, Osamu Saeki: Codimension one embeddings of product of three spheres. In: Topology and its Applications. Bd. 146/147, 2005, S. 409–419, doi:10.1016/j.topol.2003.06.005.