Topologische Konjugation

Konzept in der Analyse dynamischer Systeme

Von topologischer Konjugation spricht man in der Mathematik, wenn es einen Homöomorphismus gibt, der eine stetige Abbildung zu einer anderen konjugiert. Das Konzept ist in der Analyse dynamischer Systeme von größerer Bedeutung, und zwar besonders bei der Betrachtung diskreter Systeme.

DefinitionBearbeiten

Es seien X und Y zwei metrische Räume und   sowie   zwei stetige Abbildungen. Dann heißen   und   topologisch konjugiert, wenn es einen Homöomorphismus   gibt, so dass

 

Ist   lediglich eine stetige surjektive Abbildung, so sagt man, dass   und   topologisch semikonjugiert sind.

Analog sagen wir, zwei Flüsse   auf   und   auf   sind topologisch konjugiert (topologisch semikonjugiert), wenn ein Homöomorphismus (eine stetige surjektive Abbildung)   existiert, so dass

 

DiskussionBearbeiten

Das Konzept der topologischen Konjugation zweier Abbildungen ist besonders bei der Analyse der durch sie gegebenen dynamischen Systeme von großer Bedeutung. Denn es gibt eine Anzahl topologischer Invarianten, also topologischer Eigenschaften einer Abbildung  , die unter der topologischen Konjugation invariant sind. In diesem Sinne kann man die topologische Konjugation als eine Art Koordinatentransformation betrachten.

Wir sehen aus obiger Definition induktiv sofort ein, dass

 

Hiermit können wir schließen, dass Orbits eines dynamischen Systems unter der topologischen Konjugation auf die Orbits des topologisch konjugierten dynamischen Systems abgebildet werden, und zwar periodische auf periodische Orbits und nichtperiodische auf nichtperiodische Orbits.

Weitaus bedeutender für die Analyse der Dynamik ist jedoch die Feststellung, dass auch Chaos eine topologische Invariante ist. Denn für die zwei topologisch konjugierten Abbildungen   und   gilt:   ist genau dann chaotisch, wenn   chaotisch ist.

Weitere Invarianten unter der topologischen Konjugation sind zum Beispiel topologische Transitivität, sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten und die topologische Entropie.

BeispielBearbeiten

Es sei

 

die logistische Abbildung. Es lässt sich nun mit Hilfe der topologischen Konjugation zeigen, dass   für Parameterwerte von   auf der wie folgt induktiv definierten Cantormenge chaotisch operiert:

 

und

 

LiteraturBearbeiten

  • Werner Krabs: Dynamische Systeme: Steuerbarkeit und chaotisches Verhalten. B.G.Teubner, Leipzig 1998, ISBN 3-519-02638-4.