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Fluss (Mathematik)

Begriff der Mathematik

Das Konzept eines (Phasen-)Flusses in der Mathematik ermöglicht die Beschreibung zeitabhängiger (System-)Zustände. Es ist deshalb vor allem für die Analyse gewöhnlicher Differentialgleichungen von Bedeutung und findet damit Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik. Formal ist der Fluss eine Operation einer Parameterhalbgruppe auf einer Menge . Meist, insbesondere in der Theorie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen, wird unter einem Fluss eine Operation der Halbgruppe verstanden.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Menge,   eine Parametermenge. Eine Abbildung

 

heißt Fluss, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

 

und

 

Wir haben also eine Halbgruppenwirkung.

Die Menge

 

heißt Orbit von  .

Falls die Abbildung   differenzierbar ist, spricht man auch von einem differenzierbaren Fluss.

Lokaler FlussBearbeiten

Für   als Parametermenge ist allgemeiner ein lokaler Fluss   für eine offene Teilmenge   mit offenen Intervallen   definiert, falls die Bedingungen

 

und

 

erfüllt ist.[1] Ein lokaler Fluss mit   ist ein (globaler) Fluss mit  .

DiskussionBearbeiten

Im Hinblick auf die Analyse dynamischer Systeme beschreibt der Fluss die Bewegung im Phasenraum im Laufe der Zeit. Hierbei spricht man in Abhängigkeit von der Parametermenge   von einem kontinuierlichen dynamischen System ( ) oder einem diskreten dynamischen System ( ).

Betrachten wir ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen

 

mit   oder einer offenen Teilmenge davon, so werden durch den Phasenfluss die Lösungen dieses Systems in Abhängigkeit vom Anfangszustand angegeben. Man wählt dann oft auch eine implizite Form der Flussangabe und schreibt

 .

BeispielBearbeiten

Beispielsweise kann man jedem Vektorfeld einen Fluss zuordnen. Dieser ist durch die maximale Integralkurve des Vektorfeldes gegeben. Tatsächlich ist jeder Fluss auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit der Fluss eines Vektorfeldes, welches man durch   erhält.

Der Ricci-Fluss spielt eine zentrale Rolle in der inzwischen bewiesenen Thurston'schen Geometrisierungsvermutung, welche eine Verallgemeinerung der Poincaré'schen Vermutung ist.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Theodor Bröcker, Klaus Jänich: Einführung in die Differentialtopologie. Springer, Berlin 1973, ISBN 3-540-06461-3, S. 80 (§ 8. Dynamische Systeme).

LiteraturBearbeiten

  • Manfred Denker: Einführung in die Analysis dynamischer Systeme. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2005, ISBN 3-540-20713-9
  • Werner Krabs: Dynamische Systeme: Steuerbarkeit und chaotisches Verhalten. B.G.Teubner, Leipzig 1998, ISBN 3-519-02638-4.