Ricci-Fluss

Metrik auf einer Mannigfaltigkeit

In der Mathematik ist der Ricci-Fluss (nach der nach Gregorio Ricci-Curbastro benannten Ricci-Krümmung) eine Deformation einer glatten riemannschen Mannigfaltigkeit und geometrischer Fluss auf der Metrik . Der Ricci-Fluss ist die quasilineare partielle Differentialgleichung

,

wobei der Ricci-Tensor bezüglich der Metrik ist. Oder anders gesagt, der Ricci-Fluss weist für jedes eine Metrik aus der Familie zu, welche die Gleichung löst.[1]

Die Gleichung beschreibt eine zeitliche Veränderung der Metrik, die zur Folge hat, dass dort, wo die Ricci-Krümmung positiv ist, sich die Mannigfaltigkeit zusammenzieht und dort, wo sie negativ ist, sich die Mannigfaltigkeit ausdehnt. Heuristisch gilt, dass sich die Krümmung ähnlich wie eine Wärmeverteilung mit der Zeit gleichmäßig mittelt, und als Grenzfall eine Metrik konstanter Krümmung entsteht.

Dies allerdings mathematisch zu präzisieren und zu beweisen ist ein schwieriges Problem, weil Singularitäten (das heißt Entartungen der Metrik) im Fluss auftreten können, so dass sich dieser unter Umständen nicht beliebig lange fortsetzen lässt.

Eine wichtige Rolle spielt der Ricci-Fluss im Beweis der Geometrisierungs-Vermutung von 3-Mannigfaltigkeiten durch Grigori Perelman.

Mathematische Eigenschaften

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Der Ricci-Fluss ist ein Beispiel für eine Flussgleichung oder Evolutionsgleichung auf einer Mannigfaltigkeit. Andere Flussgleichungen, die nach einem ähnlichen Prinzip definiert sind, sind

Die Ricci-Gleichung selbst ist eine quasi-parabolische partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.

Äquivalent zum Ricci-Fluss ist der normalisierte Ricci-Fluss, der die Gleichung

 

löst. Durch den Korrekturterm  , der die durchschnittliche Skalarkrümmung zur Zeit   angibt, wird erreicht, dass das Volumen der Mannigfaltigkeit unter dem Fluss konstant bleibt. Der normalisierte und der nicht normalisierte Ricci-Fluss unterscheiden sich nur um eine Streckung in Raumrichtung und eine Umparametrisierung der Zeit. Beispielsweise bleibt eine runde  -Sphäre unter dem normalisierten Fluss konstant, während sie unter dem nicht normalisierten Fluss in endlicher Zeit auf einen Punkt zusammenschrumpft.

Resultate

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Eindeutigkeit

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Richard S. Hamilton hat gezeigt, dass für eine abgeschlossene Riemannsche  -Mannigfaltigkeit   mit  -Anfangsmetrik   der Ricci-Fluss auf   eine gewisse Zeit lang existiert, d. h. die Ricci-Gleichung besitzt eine eindeutige  -Lösung   für ein kleines Zeitintervall   mit  . Dies wird als Kurzzeitexistenz bezeichnet.

3-Mannigfaltigkeit besitzt Metrik mit konstanter positiver Schnittkrümmung

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Für eine glatte kompakte 3-Mannigfaltigkeit   mit einer Riemannschen Metrik   mit positiver Ricci-Krümmung konnte Hamilton außerdem zeigen, dass der Ricci-Fluss auf   zu einer Metrik konstanter positiver Schnittkrümmung konvergiert.

Es folgt daraus, dass die 3-Mannigfaltigkeit entweder die 3-Sphäre oder ein Quotient aus der 3-Sphäre sein muss.

Ricci-Fluss mit Chirurgie

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Hamilton verwendete 1997 einen chirurgisch-modifizierten Ricci-Fluss um 4-dimensionale Mannigfaltigkeiten mit positiver isotropischer Krümmung zu klassifizieren (Ricci-Fluss mit Chirurgie, Ricci flow with surgery)[2]: Wenn eine Singularität auftritt, hat eine Umgebung der Singularität eine genau kontrollierbare Struktur, so dass sich diese Umgebung abschneiden lässt und durch eine Kappe (Halbsphäre plus Zylinder) ersetzen lässt. Auf dieser veränderten Mannigfaltigkeit lässt man den Fluss dann weiterfließen. Die Schwierigkeit dieser Methode liegt darin, Abschätzungen gewisser Größen auf die veränderte Mannigfaltigkeit zu übertragen und dadurch zu garantieren, dass sich die Zeitpunkte, an denen Singularitäten auftreten, nicht häufen können.

Grigori Perelman verwendete eine ähnliche Methode für den 3-dimensionalen Fall ohne Voraussetzungen und bewies dadurch die Poincaré-Vermutung.

Einzelnachweise

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  1. Richard S. Hamilton: Three-manifolds with positive Ricci curvature. In: Journal of Differential Geometry. Band 17, Nr. 2, 1982, ISSN 0022-040X, S. 255–306, doi:10.4310/jdg/1214436922 (projecteuclid.org [abgerufen am 12. März 2019]).
  2. R.S.Hamilton: Four-manifolds with positive isotropic curvature. In: Commun. Anal. Geom. Band 5, 1997, S. 1–92.
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