In der niedrigdimensionalen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Thurston-Norm eine Norm auf der 2. Homologie 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, welche die Komplexität der die Homologieklasse repräsentierenden Flächen misst.

Sei eine kompakte, orientierte 3-Mannigfaltigkeit und eine Kohomologieklasse. Wir definieren die Thurston-Norm von durch

,

wobei alle die Homologieklasse repräsentierenden Flächen durchläuft und die Komplexität der in Zusammenhangskomponenten zerlegten Fläche durch

definiert ist, wobei die Euler-Charakteristik der Zusammenhangskomponente bezeichnet. Die so auf der ganzzahligen Kohomologie definierte Thurston-Norm hat die Eigenschaften

  • für

und kann deshalb zu einer Halbnorm auf fortgesetzt werden, die als Thurston-Norm bezeichnet wird. (Sie ist gleich der Hälfte der Gromov-Norm.[1])Ihre Einheitskugel bezeichnet man als Thurston-Norm-Kugel. Thurston bewies, dass es sich um ein Polytop mit Ecken in handelt.

Eine Kohomologieklasse heißt gefasert, wenn es eine Faserung mit gibt. Eine rationale Kohomologieklasse heißt gefasert, wenn es ein rationales Vielfaches in gibt, das eine gefaserte Kohomologieklasse ist. Eine Kohomologieklasse heißt gefasert, wenn sie in De-Rham-Kohomologie durch eine nicht ausgeartete Differentialform repräsentiert werden kann. Thurston bewies, dass gefaserte Kohomologieklassen zum Kegel über einer offenen top-dimensionalen Randfläche der Thurston-Norm-Kugel gehören, und dass dann jede andere Komologieklasse in diesem Kegel ebenfalls gefasert ist.

Literatur

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  • William Thurston: A norm for the homology of 3-manifolds. Mem. AMS 59, 99-130 (1986)

Einzelnachweise

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  1. Corollary 6.18 in: David Gabai: Foliations and the topology of 3-manifolds. J. Differ. Geom. 18, 445-503 (1983)