Trägheitssatz von Sylvester

mathematischer Satz
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Der Trägheitssatz von Sylvester – oder sylvestersche Trägheitssatz – ist ein Theorem aus der linearen Algebra, welches besagt, dass Koeffizientenmatrizen von Bilinearformen bestimmte Eigenschaften aufweisen, die invariant unter einem Basiswechsel sind. Es liefert damit die Grundlagen zur Definition der Signatur.

Der Satz ist benannt nach dem britischen Mathematiker James Joseph Sylvester.

Aussage des Satzes

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Sei   ein endlichdimensionaler  -Vektorraum mit einer hermiteschen Sesquilinearform  . Der Ausartungsraum   von   ist definiert als

 .

Der sylvestersche Trägheitssatz besagt nun, dass eine direkte Summe

 

mit

  für alle  und  für alle  

existiert.

Insbesondere existiert also eine Basis von  , so dass die Darstellungsmatrix   der hermiteschen Sesquilinearform   die Diagonalgestalt

 

hat. Diese Darstellungsmatrix hat auf der Hauptdiagonalen die Einträge  ,   und  , alle anderen Koeffizienten sind  .[1]

Bemerkungen

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  • Seien   eine symmetrische Matrix und   eine invertierbare Matrix. So folgt aus dem Satz, dass   und   mit Vielfachheit gezählt die gleichen Anzahlen positiver und negativer Eigenwerte haben. Dies ist nicht trivial, denn die Eigenwerte einer quadratischen Matrix sind im Allgemeinen nur unter der Transformation   invariant, nicht jedoch unter  .
  • Der Trägheitssatz ist für hermitesche Bilinearformen nicht gültig.

Signatur

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Die Räume  ,   und   seien wie im ersten Abschnitt definiert. Dann folgt aus dem Trägheitssatz, dass die Zahlen

 

Invarianten der hermiteschen Sesquilinearform   sind. Insbesondere ist

 .

Die analoge Aussage gilt auch für  . Außerdem folgt aus der direkten Zerlegung die Gleichheit

 .

Das Tripel   heißt Trägheitsindex oder (Sylvester-)Signatur von  .

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-29884-3, S. 278–281.