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Der Bogen des Jefferson National Expansion Memorial (Gateway Arch) in St. Louis, Missouri folgt etwa einer Stützlinie.
Darstellung des Lastverlaufs, der einen halbkreisförmigen Bogen zur Stützlinie macht. Das Beispiel zeigt, dass ein freistehender Bogen aus Mauerwerk wie abgebildet nur mit sehr massiven seitlichen Säulen und einem filigranen Bogen machbar wäre, der sich zum Scheitelpunkt hin fast auflöst. Es müsste fast das gesamte Gewicht (Summe aus Eigenlast und Auflast) im Bereich der beiden Säulen eingebracht werden. Jede Last, die auf dem mittleren Teil des Bogens ruht, führt dazu, dass die Säulen seitlich auseinander gedrückt werden und der Bogen kollabiert.

Als Stützlinie bezeichnet man die 'Linie', auf welcher die aus der Belastung entstehenden, zusammengefassten Normalkräfte (Druckkräfte) verlaufen. Der Begriff wurde von Franz Joseph Ritter von Gerstner (1756–1832) Anfang der 1830er Jahre eingeführt[1].

Bei einem idealen Bogen verlaufen die Normalkräfte entlang der Achse des Bogens (mittiger Druck). Damit entspricht die Bogenform des Bogens der Stützlinie (Stützliniengewölbe). Es entstehen keine Momente. Die Stützlinie gilt immer nur für eine bestimmte Last. Wird diese Last verändert, kann sich die Stützlinie eines Bogens von seinem tatsächlichen Verlauf entfernen. Es entstehen Zugkräfte und Momente.

Ein Bogen folgt einer Stützlinie, wenn in seinem gesamten Querschnitt bei einer gegebenen Belastung nur Druckspannungen vorhanden sind. Biege-, Schub- und Torsionspannungen sind dagegen nicht vorhanden. Bei einem nur mit seiner eigenen Gewichtskraft belasteten Bogen folgt die Stützlinie einer Katenoide, bei einer über die Bogenspannweite verteilten Gleichstreckenlast einer quadratischen Funktion (Parabel). Der Materialeinsatz für einen in einer Stützlinie verlaufenden Bogen ist minimal, die Stützlinie repräsentiert damit ein Optimum.

Das Prinzip der Stützlinie ist an dem Beispiel einer Kette nachvollziehbar. Hängt man eine Kette an ihren Enden auf, so verformt sich die Kette nach unten: sie 'hängt' durch. Dieses Phänomen bezeichnet man als Kettenlinie. In einer Kette können unter jeder Belastung lediglich Zugkräfte auftreten, da die Kette konstruktionsbedingt biegeweich ist (sie kann keine Momente aufnehmen) und auf Druck ebenso versagt wie ein Seil. Spiegelt man die Kettenlinie um eine horizontale Achse, so entsteht ein Bogen, in dem unter dem eigenen Gewicht lediglich Druckkräfte (keine Momente) auftreten. Es handelt sich damit um die Stützlinie, siehe auch.[2]

Wenn die Bogenform zu deutlich von der Stützlinie abweicht, können die Biegemomente so groß werden, dass der Bogen versagt. In der Praxis tritt dieses Problem vor allem bei Brückenkonstruktionen auf. Der Fahrzeug- und Fußgängerverkehr führt zu asymmetrischen Lasten, welche die Stützlinie verzerren. Für die entstehenden Biegemomente muss der Bogen verstärkt werden (z. B. durch zusätzliche Biegeträger).

Der ideale Lastverlauf, bei vorgegebener Geometrie eines Gewölbes, ist für die Baustatik von Interesse. Im Falle eines halbkreisförmigen Bogens ist dies die Funktion der senkrechten Belastung:

wobei die senkrechte Belastung in der Mitte des Bogens, der am Halbkreis des Bogens abgetragene Winkel und der zur dritten Potenz erhobene Sinus dieses Winkels ist. An den Auflagern des Bogens wird q unendlich groß (siehe Abbildung). Die Formel zeigt, dass sich ein (feingliedriger) halbkreisförmiger Bogen im Gegensatz zur Katenoide kaum freistehend konstruieren läßt. Es müsste nahe der Auflager sehr viel Masse auf dem Bogen lasten, während er zum Scheitel hin fast gewichtslos ausgeführt würde. Dennoch können halbkreisförmige Bögen problemlos ausgeführt werden, wenn sie rechts und links in Mauerwerk eingebunden sind, das in der Lage ist, die entstehenden seitlichen Schubkräfte aufzunehmen.

Für die Dimensionierung eines Bogens werden die Druckspannungen des entlang der Stützlinie befindlichen Materials ermittelt. Nach der Stabilitätstheorie müssen Bogenkonstruktionen zusätzlich auf Knicken, Beulen und zusätzliche Lastfälle hin untersucht werden.

Das Konzept der Stützlinie ist vergleichbar mit dem der Spannungstrajektorien.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Karl-Eugen Kurrer: Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht. 2., stark erweiterte Auflage. Ernst & Sohn, Berlin 2016, ISBN 978-3-433-03134-6, S. 231.
  2. Baulexikon. Stützlinie. Beuth Verlag GmbH, abgerufen am 10. Januar 2017.