Spinor-Darstellung

Darstellung in der Physik zum Spin eines Teilchens
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Die Spinor-Darstellung der Spin-Gruppe und die Halbspinor-Darstellungen der Spin-Gruppe dienen in der Physik zur Beschreibung des Spins eines Teilchens.

Herleitung

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Im Folgenden bezeichnen wir mit   die Clifford-Algebra des  -Vektorraums   mit der quadratischen Form  .

Die Clifford-Algebra   ist isomorph zu   und hat insbesondere zwei  -dimensionale Darstellungen. Die Clifford-Algebra   wird per Definition erzeugt von   mit den Relationen   und  . Andererseits hat   als  -Vektorraum die Basis

 

mit den Relationen   und  . Man hat also einen Isomorphismus

 

und insbesondere eine  -dimensionale Darstellung von  .

Durch

 

erhält man einen Isomorphismus

 .

Für eine gerade Zahl   folgt daraus durch vollständige Induktion

 ,

insbesondere erhält man eine Darstellung von   auf einem  -dimensionalen Vektorraum  .

Für eine ungerade Zahl   erhält man durch vollständige Induktion

 ,

insbesondere erhält man zwei Darstellungen von   auf  -dimensionalen Vektorräumen.

In jedem Fall hat man für   oder   einen komplexen Vektorraum

 ,

so dass

 .

Die Spinordarstellung der Spin-Gruppe   ist die Einschränkung der Darstellung   auf  .

Allgemeiner kann man für   die zur quadratischen Form   auf dem   assoziierte Spin-Gruppe   betrachten. Diese ist ebenfalls in   enthalten und somit sind   bzw.   Darstellungen von  . In der Physik werden die Elemente von   als Dirac-Spinoren bezeichnet.

Eigenschaften

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  • Die Spinor-Darstellungen für ungerade n und die Halbspinor-Darstellungen für gerade nicht durch 4 teilbare n sind treue Darstellungen.
  • Für alle   hat das Bild in   bzw.   die Determinante  .
  • Auf   bzw.   gibt es ein  -invariantes hermitesches Skalarprodukt. Die Bilder der Spinor- und Halbspinor-Darstellungen liegen also in   bzw.  .

Halbspinor-Darstellungen

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Für   ungerade ist die Spinor-Darstellung   eine irreduzible Darstellung von  . Dagegen ist für   gerade die Spinor-Darstellung die direkte Summe   zweier irreduzibler Darstellungen, die als Halbspinor-Darstellungen bezeichnet werden.

Man erhält diese Unterräume als Eigenräume der Wirkung von   zu den Eigenwerten   und  . In der Physik werden die Elemente dieser beiden Unterräume als positive und negative Weyl-Spinoren bezeichnet.

Literatur

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