Seiberg-Witten-Invariante

In der Mathematik sind die Seiberg-Witten-Invarianten wichtige Invarianten differenzierbarer 4-Mannigfaltigkeiten. Zu ihren Anwendungen gehören der Beweis der Thom-Vermutung oder der Nichtexistenz von Metriken positiver Skalarkrümmung, Zerlegungen als zusammenhängender Summe oder symplektischer Strukturen auf verschiedenen 4-Mannigfaltigkeiten. Weiterhin können sie verschiedene Differentialstrukturen auf topologischen 4-Mannigfaltigkeiten unterscheiden.

Definition

Sei $M$ eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik und einer Spin^c-Struktur ${\mathfrak {s}}$ mit assoziierten Spinorbündeln $W^{\pm }$ und Determinantenbündel $L$.

Für eine generische selbst-duale 2-Form $\eta$ ist der Raum ${\mathcal {M}}$ der Lösungen der gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen eine kompakte, orientierbare Mannigfaltigkeit der Dimension

$i({\mathfrak {s}}):={\frac {1}{4}}(c_{1}(L)^{2}-2\chi (M)-3sign(M))$.

Die Eichgruppe ${\mathcal {G}}=Map(M,S^{1})$ und ihre Untergruppe ${\mathcal {G}}_{0}=\left\{u\in {\mathcal {G}}\colon u(x_{0})=1\right\}$ wirken auf ${\mathcal {M}}$. Der Quotientenraum ${\mathcal {M}}/{\mathcal {G}}_{0}$ ist ein $S^{1}$-Hauptfaserbündel über ${\mathcal {M}}/{\mathcal {G}}$. Sei $e\in H^{2}({\mathcal {M}}/{\mathcal {G}};\mathbb {Z} )$ seine Eulerklasse.

Wenn $b_{2}^{+}(M)-b_{1}(M)$ ungerade ist, dann ist die Dimension von ${\mathcal {M}}$ eine gerade Zahl $i(L)=2d$. Man definiert dann

$SW(M,{\mathfrak {s}};g,\eta ):=\int _{\mathcal {M}}e^{d}$.

Für $b_{2}^{+}(M)\geq 2$ hängt diese Invariante nicht von $g$ und $\eta$ ab und wird als Seiberg-Witten-Invariante $SW(M,{\mathfrak {s}})$ bezeichnet.

Eigenschaften

Im Folgenden sei stets $b_{2}^{+}(M)-b_{1}(M)$ ungerade und $b_{2}^{+}(M)\geq 2$. Eine Kohomologieklasse $c\in H^{2}(M;\mathbb {Z} )$ heißt Basisklasse, wenn es eine Spin^c-Struktur ${\mathfrak {s}}$ mit $c_{1}(L)=c$ und $SW(M,{\mathfrak {s}})\not =0$ gibt.

• Wenn $f\colon M_{1}\to M_{2}$ ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus ist, dann ist $SW(M_{1},f^{*}{\mathfrak {s}})=SW(M,{\mathfrak {s}}).$
• Für jede Basisklasse $c$ gilt $c\cdot c\geq 2\chi (M)+3sign(M)$.
• Für die duale Spin^c-Struktur ${\mathfrak {s}}^{*}$ gilt $SW(M,{\mathfrak {s}}^{*})=(-1)^{\frac {\chi (M)+sign(M)}{4}}SW(M,{\mathfrak {s}}).$
• $M$ hat nur endlich viele Basisklassen.
• Wenn $M$ eine Metrik positiver Skalarkrümmung besitzt, dann gilt $SW(M,{\mathfrak {s}})=0$ für alle ${\mathfrak {s}}$.
• Wenn $M=X\sharp Y$ für kompakte, orientierbare, glatte 4-Mannigfaltigkeiten $X,Y$ mit $b_{2}^{+}>0$, dann gilt $SW(M,{\mathfrak {s}})=0$ für alle ${\mathfrak {s}}$.
• Wenn $b_{1}(X)=b_{2}^{+}(X)=0$ gilt und für eine Spin^c-Struktur ${\mathfrak {s}}_{X}$ mit $c_{1}=c_{X}$ die Ungleichung $c\cdot c-2\chi (M)-3sign(M)+c_{X}\cdot c_{X}+b_{2}(X)\geq 0$ gilt, dann ist $SW(M,{\mathfrak {s}})=SW(M\sharp X,{\mathfrak {s}}\sharp {\mathfrak {s}}_{X})$.
• Für eine eingebettete, kompakte, orientierbare Fläche $\Sigma \subset M$ des Geschlechts $g(\Sigma )$ gilt $2g(\Sigma )-2\geq \Sigma \cdot \Sigma +\vert c\cdot \Sigma \vert$ für jede Basisklasse $c$.
• Wenn $M$ eine symplektische Mannigfaltigkeit mit kanonischer Spin^c-Struktur ${\mathfrak {s}}_{can}$ ist, dann ist $SW(M,{\mathfrak {s}}_{can})=1$.

Literatur

• John Morgan: Lectures on Seiberg-Witten invariants, Lecture Notes in Mathematics, 1629 (2nd ed.), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-41221-2
• Liviu Nicolaescu: Notes on Seiberg-Witten theory, Graduate Studies in Mathematics, 28, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2145-8
• Alexandru Scorpan: The wild world of 4-manifolds, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3749-8

Weblinks

• Dietmar Salamon: Spin geometry and Seiberg-Witten invariants