Schwingungsmembran

Eine Schwingungsmembran oder Oszillationsmembrane (Membran, von mittelhochdeutsch Membrane „(Stück) Pergament“; von lateinisch membrana „Häutchen“ bzw. membrum „Körperglied“) ist eine dünne Haut oder Folie, die Schwingungen erzeugen oder modifizieren soll.

Membran eines Subwoofers

Zweidimensionale stehende Oberwelle in einem rechteckigen Rahmen

Steinitz Querstrommikrofon (1927)

Die Membran kann zur Erzeugung, Verstärkung, Aufnahme, Dämpfung oder Messung der Schwingung dienen. Die Anregung zu Membranschwingungen setzt voraus, dass eine andauernd einwirkende äußere Kraft vorhanden ist, die durch die Zugspannung durch eine Randeinspannung gegeben ist.

Jede Membran besitzt mehrere Eigenresonanzen (Partialschwingungen), die aber häufig stark gedämpft sind. In deren Umgebung können die Amplituden besonders hohe Werte erreichen.

Bedeutung

Schwingende Membranen spielen in der Akustik auf zahlreichen Gebieten eine wichtige Rolle:

• vorwiegend bei den elektroakustischen Wandlern, wo sie
  • zur Umwandlung mechanischer Schallenergie in elektrische Energie dienen, z. B. beim Mikrofon, oder
  • umgekehrt zur Wandlung elektrischer Energie in Schallenergie, z. B. beim Lautsprecher oder beim Kopfhörer,
• beim Hörvorgang
• bei bestimmten Musikinstrumenten, z. B. den Membranophonen.

Einteilungen

Die Membran kann

• in einem festen Rahmen eingespannt sein wie bei einer Trommel,
• ihr Rand kann aber auch frei schwingen wie bei einem Lautsprecher.

Beide Varianten unterscheiden sich deutlich bezüglich möglicher Moden und Frequenzen.

Die Schwingungsanregung kann auf unterschiedliche Weise erfolgen, etwa

• durch Auftreffen von Luftschall, z. B. beim Trommelfell,
• durch Aufschlagen mit einem Schlägel, etwa bei Membranophonen, oder
• auf elektrischem Wege, etwa durch Anregung einer Lautsprechermembran.

Im Bruststück des Stethoskops ist ebenfalls eine Membran eingebaut.

Technische Schwingungsmembranen werden beispielsweise in Druckmessgeräten, Membranpumpen und Musikinstrumenten verwendet. Ein Beispiel für eine biologische Schwingungsmembran ist das Trommelfell.

Mathematische Beschreibung

Schwingung der ungedämpften Kreis-Membran

Die Schwingung der ungedämpften Kreismembran lässt sich mit der d'Alembert'schen Schwingungsgleichung in Polarkoordinaten beschreiben. Dabei gilt, dass die Membran beim Radius $a$ eingespannt und somit die Auslenkung $u$ gleich Null ist. Im Sinne der Theorie der partiellen Differentialgleichungen entspricht dies der homogenen Dirichlet-Randbedingung. Damit lässt sich diese Problemstellung wie folgt beschreiben:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0\quad {\text{mit}}\quad u(a,\varphi ,t)=0\quad {\text{und}}\quad u(r,0,t)=u(r,2\pi ,t)$

Die Herangehensweise an ein solches Problem ist in der Regel ein Separationsansatz, welcher besagt, dass sich die gesuchte Funktion $u(r,\varphi ,t)$ aus separaten Funktionen $f(r),g(\varphi ),h(t)$ zusammensetzt. Da die Membran am Rand eingespannt ist, sind in erster Linie nur bestimmte Schwingungsformen möglich, die Eigenschwingungen (auch Moden genannt). Durch Superposition dieser Eigenschwingungen lassen sich jedoch auch andere Schwingungsformen darstellen.

Die Lösung setzt sich im Falle von Zylinder- bzw. Kreis-Geometrien zusammen einerseits aus komplexen Exponentialfunktionen (bzw. trigonometrischen Funktionen) und andererseits aus den Zylinderfunktionen (auch Bessel-Funktionen genannt). Im Folgenden ist eine mögliche Darstellung der Lösung abgebildet:

$u(r,\varphi ,t)=\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }\left({\underline {A}}_{\nu ,n}\cdot J_{\nu }(k_{n}\cdot r)\cdot \operatorname {e} ^{\operatorname {j} (\omega _{n}t-\nu \varphi )}\right)\quad {\text{mit}}\quad k_{n}={\frac {\omega _{n}}{c}}\quad {\text{und}}\quad J_{\nu }\left({\frac {\omega _{n}}{c}}\cdot a\right){\stackrel {!}{=}}0$

Hierbei ist das Nullstellenproblem die Bedingung dafür, dass eine Schwingungsform mit der Kreisfrequenz $\omega _{n}$ eine mögliche Lösung ist. Gesucht sind also die Nullstellen der verwendeten Besselfunktion.

Schwingung der ungedämpften Rechteck-Membran

Zweidimensionale stehende Welle in einem rechteckigen Rahmen bei größtmöglicher Wellenlänge

Bei der Beschreibung einer ungedämpften Rechteck-Membran verwendet man die d'Alembert'schen Schwingungsgleichung in kartesischen Koordinaten. Als Randbedingung gilt auch hier die homogene Dirichlet-Randbedingung. Somit sieht die Differentialgleichung wie folgt aus:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0\quad {\text{mit}}\quad u(a,y,t)=u(x,b,t)=u(0,y,t)=u(x,0,t)=0$

In diesem Fall besteht die Lösung ausschließlich aus Trigonometrischen Funktionen, welche wie folgt als Reihe darstellbar ist:

$u(x,y,t)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }\left(A_{n,m}\cdot \sin \left(k_{n}x\right)\cdot \sin(k_{m}y)\cdot \cos(\omega _{nm}t-\phi )\right)\quad {\text{mit}}\quad k_{n}={\frac {\pi n}{a}}\quad k_{m}={\frac {\pi m}{b}}\quad \omega _{nm}=c\cdot {\sqrt {k_{n}^{2}+k_{m}^{2}}}$

Die Teil-Funktionen für unterschiedliche n,m bezeichnet man als Moden bzw. Eigenschwingungen. Durch Festlegung der jeweiligen Amplitudenwerte $A_{n,m}$ können alle möglichen Schwingungsformen dargestellt werden, welche z. B. nicht sinusförmig sind.