Schwingungsmembran

dünne Haut oder Folie, die Schwingungen erzeugen oder modifizieren soll

Eine Schwingungsmembran oder Oszillationsmembrane (Membran, von mittelhochdeutsch Membrane „(Stück) Pergament“; von lateinisch membrana „Häutchen“ bzw. membrum „Körperglied“) ist eine dünne Membran oder Folie, die Schwingungen ausführt.

Membran eines elektrodynamischen Lautsprechers
Stehende Welle einer rechteckigen eingespannten Membran
Steinitz Querstrommikrofon (1927)

Die Membran kann zur Erzeugung, Verstärkung, Detektierung oder Messung insbesondere von Schall dienen. Die Membran-Eigenschwingungen setzen eine Rückstellkraft voraus, die auch durch eine Randeinspannung gegeben sein kann.

Eigenresonanzen (Partialschwingungen) sind oft unerwünscht und werden daher teilweise gedämpft. Bei den zugehörigen charakteristischen Frequenzen können die Amplituden besonders hohe Werte erreichen und führen zu linearen Verzerrungen des Frequenzganges.

BedeutungBearbeiten

Schwingende Membranen spielen unter anderem in der Akustik eine Rolle:

ArtenBearbeiten

Die Membran kann in einem starren Rahmen eingespannt sein wie bei einer Trommel oder ihr Rand kann frei schwingen.

Beide Varianten unterscheiden sich bezüglich möglicher Moden und Frequenzen.

Die Schwingungsanregung kann auf unterschiedliche Weise erfolgen, etwa

Im Bruststück des Stethoskops ist eine Membran eingebaut.

Mathematische BeschreibungBearbeiten

Schwingung der ungedämpften Kreis-MembranBearbeiten

Die Schwingung der ungedämpften Kreismembran lässt sich mit der d'Alembert'schen Schwingungsgleichung in Polarkoordinaten beschreiben. Dabei gilt, dass die Membran beim Radius   eingespannt und somit die Auslenkung   gleich Null ist. Im Sinne der Theorie der partiellen Differentialgleichungen entspricht dies der homogenen Dirichlet-Randbedingung. Damit lässt sich diese Problemstellung wie folgt beschreiben:

 

Die Herangehensweise an ein solches Problem ist in der Regel ein Separationsansatz, welcher besagt, dass sich die gesuchte Funktion   aus separaten Funktionen   zusammensetzt. Da die Membran am Rand eingespannt ist, sind in erster Linie nur bestimmte Schwingungsformen möglich, die Eigenschwingungen (auch Moden genannt). Durch Superposition dieser Eigenschwingungen lassen sich jedoch auch andere Schwingungsformen darstellen.

Die Lösung setzt sich im Falle von Zylinder- bzw. Kreis-Geometrien zusammen einerseits aus komplexen Exponentialfunktionen (bzw. trigonometrischen Funktionen) und andererseits aus den Zylinderfunktionen (auch Bessel-Funktionen genannt). Im Folgenden ist eine mögliche Darstellung der Lösung abgebildet:

 

Hierbei ist das Nullstellenproblem die Bedingung dafür, dass eine Schwingungsform mit der Kreisfrequenz   eine mögliche Lösung ist. Gesucht sind also die Nullstellen der verwendeten Besselfunktion.

Schwingung der ungedämpften Rechteck-MembranBearbeiten

 
Zweidimensionale stehende Welle in einem rechteckigen Rahmen bei größtmöglicher Wellenlänge

Bei der Beschreibung einer ungedämpften Rechteck-Membran verwendet man die d'Alembert'schen Schwingungsgleichung in kartesischen Koordinaten. Als Randbedingung gilt auch hier die homogene Dirichlet-Randbedingung. Somit sieht die Differentialgleichung wie folgt aus:

 

In diesem Fall besteht die Lösung ausschließlich aus Trigonometrischen Funktionen, welche wie folgt als Reihe darstellbar ist:

 

Die Teil-Funktionen für unterschiedliche n,m bezeichnet man als Moden bzw. Eigenschwingungen. Durch Festlegung der jeweiligen Amplitudenwerte   können alle möglichen Schwingungsformen dargestellt werden, welche z. B. nicht sinusförmig sind.