Dirichlet-Randbedingung

Als Dirichlet-Randbedingung (nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet) bezeichnet man im Zusammenhang mit Differentialgleichungen (genauer: Randwertproblemen) Werte, die auf dem jeweiligen Rand des Definitionsbereichs von der Funktion angenommen werden sollen.

Weitere Randbedingungen sind beispielsweise Neumann-Randbedingungen oder schiefe Randbedingungen.

Gewöhnliche DifferentialgleichungBearbeiten

Das DirichletproblemBearbeiten

Im Falle einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist der Definitionsbereich der Funktion ein abgeschlossenes Intervall. Folglich besteht der Rand des Definitionsbereiches nur aus dem rechten und dem linken Intervall-Ende. Aufgrund der Freiheit in gewöhnlichen Differentialgleichungen sind Dirichlet-Randbedingungen nur für Gleichungen von zweiter oder höherer Ordnung sinnvoll. In diesem Fall sieht ein Dirichletproblem, d. h. eine Differentialgleichung mit Dirichlet-Randbedingung, folgendermaßen aus:

 

Hierbei ist   eine vorgeschriebene Funktion,   und   sind vorgeschriebene reelle Zahlen für die Funktionswerte einer Lösung an den Intervallenden. Schließlich suchen wir eine (klassische) Lösung   aus der angegebenen Regularitätsklasse.

BeispielBearbeiten

Wir wählen als unser Intervall   und betrachten das folgende Dirichletproblem:

 

Mit der Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten erhalten wir zunächst als allgemeine (klassische) Lösung der Differentialgleichung:

 

mit zwei frei wählbaren reellen Konstanten   und  . Wir benutzen die Randbedingungen, um diese Konstanten zu fixieren. Dabei erhalten wir ein lineares Gleichungssystem in den Unbekannten   und  :

 
 

Bemerkenswerterweise ist dieses System nicht eindeutig lösbar, aber es ist für beliebiges reelles   eine Lösung gegeben durch

 

Existenz und EindeutigkeitBearbeiten

Der folgende Satz wird für homogene ( ) Daten formuliert. Dies ist jedoch keine Einschränkung, denn durch eine Transformation   mit

 

kann ein inhomogenes Problem stets in ein homogenes Problem überführt werden.

Gegeben sei die Aufgabe

 

Dabei sei   eine stetige Funktion. Außerdem erfülle sie eine Lipschitz-Bedingung, das heißt, es gebe Zahlen  , so dass für alle   und für alle   die Ungleichung

 

erfüllt sei. Weiterhin gelte

 

Sei   eine Lösung von

 

  verschwinde für   und   sei die erste eindeutige Zahl, so dass   für  . Dann hat die zugrunde liegende Aufgabe genau eine Lösung, falls

 

Gilt hingegen  , so muss keine Lösung existieren oder sie muss nicht eindeutig sein. Weiterhin gilt

 

Einen Beweis dieses Satzes findet man in Bailey, Shampine, Waltman. Nonlinear two-point boundary value problems. Academic Press, 1968.

Ist die rechte Seite   der Differentialgleichung jedoch nur stetig und beschränkt, dann garantiert der Satz von Scorza Dragoni die Existenz einer Lösung.

Partielle DifferentialgleichungenBearbeiten

Das DirichletproblemBearbeiten

Bei einer partiellen Differentialgleichung ist die alleinige Angabe von Dirichlet-Randbedingungen nur für elliptische Gleichungen auf einem beschränkten Gebiet   sinnvoll, da die anderen Typen auch Vorgaben der Anfangswerte benötigen. Dabei werden Dirichlet-Randbedingungen auf dem Rand des Gebietes   vorgeschrieben. Wir definieren hier das Dirichletproblem für quasilineare partielle Differentialgleichungen

 
 
 

Hierbei stellt die Funktion   die vorgeschriebenen Funktionswerte der Lösung auf dem Rand dar. Allein die Frage nach der Lösbarkeit eines solchen Problems ist schon sehr anspruchsvoll und steht im Mittelpunkt der aktuellen Forschung. Es ist auch sehr schwierig, eine allgemeingültige Lösungsmethode anzugeben.

BeispielBearbeiten

Wir betrachten in diesem Beispiel auf dem Gebiet   das folgende Randwertproblem:

 
 
 

Hierbei bezeichnet   den Laplace-Operator. Zunächst stellen wir fest, dass   eine Lösung des Problems ist. Wir wollen noch weitere Lösungen finden. Wir nehmen nun   für   an und machen den folgenden Produktansatz

 

Für die Funktionen   leiten wir gewöhnliche Differentialgleichungen mit entsprechenden Dirichlet-Randbedingungen her. Es folgt

 

Wenn nun die   dem Randwertproblem

 
 
 

genügen, dann ist die oben definierte Funktion   eine Lösung des Dirichlet-Randwertproblems für die partielle Differentialgleichung. Mit dem Beispiel für gewöhnliche Differentialgleichungen erhalten wir

 

und somit

 

als Lösung unseres Problems partieller Differentialgleichungen zu Dirichlet-Randbedingungen. Offen bleibt die Frage, ob es noch weitere Lösungen gibt.

LiteraturBearbeiten

  • D. Gilbarg, N.S. Trudinger: Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, Berlin 1998, ISBN 3-540-41160-7.