Halbstetigkeit

Eigenschaft von Funktionen

In der Mathematik heißt eine reellwertige Funktion oberhalbstetig (oder halbstetig von oben) in einem Punkt , wenn die Funktionswerte für Argumente nahe bei von ausgehend nicht nach oben springen. Wenn die Funktionswerte nicht nach unten springen, dann heißt die Funktion unterhalbstetig in (oder halbstetig von unten).

DefinitionBearbeiten

 
Oberhalbstetige Funktion (der vollausgefüllte blaue Punkt gibt   an)

Sei   ein topologischer Raum,   in   und   eine reellwertige Funktion.   heißt in   oberhalbstetig, wenn für jedes   eine Umgebung   von   existiert, so dass   für alle   in   gilt. Ist   ein Raum, in dem jede folgenstetige Funktion auch stetig ist, etwa ein metrischer Raum, so ist   genau dann oberhalbstetig in  , falls

 .

  heißt oberhalbstetig auf einer Teilmenge   von  , wenn sie in jedem Punkt   oberhalbstetig ist. Ist dabei   der ganze topologische Raum  , so heißt   oberhalbstetig.

 
Unterhalbstetige Funktion (der vollausgefüllte blaue Punkt gibt   an)

Analog heißt   im Punkt   unterhalbstetig, wenn für jedes   eine Umgebung   von   existiert, so dass   für alle   in  . Ist   ein Raum, in dem jede folgenstetige Funktion auch stetig ist, etwa ein metrischer Raum, so ist   genau dann unterhalbstetig in  , falls

 .

  heißt unterhalbstetig auf einer Teilmenge   von  , wenn sie in jedem Punkt   unterhalbstetig ist. Ist dabei   der ganze topologische Raum  , so heißt   unterhalbstetig.

Zusammenhang der beiden Halbstetigkeitsbegriffe: Die Funktion   ist genau dann oberhalbstetig in   bzw. auf   wenn   unterhalbstetig in   bzw. auf   ist.

BeispieleBearbeiten

Die Funktion   mit   für   und   für   ist oberhalbstetig, aber nicht unterhalbstetig in  . Denn entfernt man sich mit den Argumenten in negative Richtung von der 0, dann springen die Funktionswerte plötzlich von 1 auf 0, aber sie springen nicht nach oben, egal wohin man sich entfernt.

Die Gaußklammer ist oberhalbstetig, denn sie verhält sich an jeder ganzen Zahl so wie die eben beschriebene Funktion  .

EigenschaftenBearbeiten

Eine Funktion   ist stetig in   genau dann, wenn sie dort halbstetig von oben und von unten ist. Dies folgt aus einer Umformulierung der Stetigkeitsbedingung, welche lautet, dass es zu jedem   ein   gibt, sodass für alle   aus der  -Umgebung von   die Ungleichung   gilt. Diese ist äquivalent zu  . Hier bedeutet das linke Ungleichheitszeichen die untere Halbstetigkeit und das rechte Ungleichheitszeichen die obere Halbstetigkeit.

Sind   und   zwei in   oberhalbstetige Funktionen, dann ist auch ihre Summe   in   oberhalbstetig. Sind beide Funktionen nichtnegativ in einer Umgebung von  , dann ist auch das Produkt   in   oberhalbstetig. Die Multiplikation einer positiven oberhalbstetigen Funktion mit einer negativen reellen Zahl ergibt eine unterhalbstetige Funktion.

Ist   eine kompakte Menge (zum Beispiel ein abgeschlossenes Intervall   mit reellen Zahlen  ) und   oberhalbstetig, dann hat   ein Maximum auf  . Analoges gilt für eine unterhalbstetige Funktion und ihr Minimum.

Sind die Funktionen   (für alle  ) unterhalbstetig und ihr Supremum

 

kleiner als   für jedes   in  , dann ist   unterhalbstetig. Selbst wenn alle   stetig sind, muss   aber nicht stetig sein.

Alternative BeschreibungBearbeiten

Durch eine geeignete Wahl einer Topologie auf   können oberhalbstetige und unterhalbstetige Funktionen als stetige Funktionen aufgefasst werden, und somit lassen sich einige der Eigenschaften direkt aus allgemeinen Aussagen aus der Topologie herleiten.

  ist eine Topologie auf  . Sei   ein topologischer Raum. Eine Funktion   ist genau dann oberhalbstetig, wenn   als Abbildung   stetig ist.

Für unterhalbstetige Funktionen verwendet man analog die Topologie  .

Schwach halbstetige FunktionenBearbeiten

Eine Verallgemeinerung der halbstetigen Funktionen sind die schwach halbstetigen Funktionen. Sei   ein normierter Raum und   eine Teilmenge. Eine Funktion oder ein Funktional   heißt

  • schwach unterhalbstetig auf der Menge  , wenn für jede Folge   in  , die schwach gegen ihren schwachen Grenzwert   konvergiert, gilt, dass
 .
  • schwach oberhalbstetig auf der Menge  , wenn für jede Folge   in  , die schwach gegen ihren schwachen Grenzwert   konvergiert, gilt, dass
 .

Beispielsweise sind stetige quasikonvexe Funktionen schwach unterhalbstetig. Äquivalent zur schwachen Unterhalbstetigkeit einer Funktion ist, dass ihr Epigraph eine schwach folgenabgeschlossene Menge ist. Schwach unterhalbstetige Funktionen spielen eine wichtige Rolle in der Optimierung, da sie auf schwach folgenkompakten Mengen immer ein Minimum annehmen.

LiteraturBearbeiten

  • Carl Geiger, Christian Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2002, ISBN 3-540-42790-2.