Die Schatten-Klassen, auch Schatten-von-Neumann-Klassen, benannt nach Robert Schatten und John von Neumann, sind spezielle Algebren von Operatoren, die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht werden. Sie haben viele Eigenschaften mit den Folgenräumen gemeinsam.

Definition

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Ist   ein kompakter linearer Operator zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen (im Endlichdimensionalen bricht die Folge ab), so gibt es eine monoton fallende Folge   nicht-negativer reeller Zahlen mit   und orthonormale Folgen   in   und   in  , sodass

  •   für alle   gilt und
  • die Operatoren   für   in der Operatornorm gegen   konvergieren.

Das ist die sogenannte Schmidt-Darstellung. Die Zahlenfolge   ist im Gegensatz zu den orthonormalen Folgen eindeutig durch   bestimmt. Man schreibt daher   für das  -te Folgenglied und nennt diese Zahl auch den  -ten singulären Wert von  . Man kann zeigen, dass die Quadrate dieser Zahlen die monoton fallende Eigenwertfolge des kompakten und positiven Operators   bilden.

Für   ist die  -te Schatten-Klasse kompakter Operatoren von   nach   durch

 

definiert. Dabei ist   der Folgenraum der zur  -ten Potenz summierbaren Folgen. Für   definiert man die  -Norm des Operators gerade durch diese Norm der Folge:

 

Die  -Norm des Operators ist also genau die  -Norm der zugehörigen Folge der singulären Werte des Operators.

Für den Fall   schreibt man abkürzend  . Oft nennt man nur diese Räume Schatten-Klassen.

Spezialfälle

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Für   entspricht der Raum   der Menge der Spurklasseoperatoren.

Für   entspricht   dem Hilbertraum der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Eigenschaften

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  • Die Schatten-Klassen haben viele Eigenschaften mit den  -Räumen gemeinsam.   ist mit der  -Norm ein Banachraum. Für   gilt   und daher  . Ferner gilt stets  , wobei   die Operator-Norm von   ist.
  •   ist mit der Operator-Multiplikation sogar eine Banachalgebra mit isometrischer Involution, wobei die Involution die Adjunktion ist. Sind   und   stetige lineare Operatoren auf  , so ist   und es gilt  . Die Schatten-Klassen sind daher zweiseitige Ideale in  .
  • Seien   mit   konjugierte Zahlen. Gilt dann   und  , so ist das Produkt   ein Spurklasse-Operator und es gilt  . Jedes   definiert daher durch   ein stetiges lineares Funktional   auf  . Man kann zeigen, dass die Abbildung   ein isometrischer Isomorphismus von   auf den Dualraum von   ist, oder kurz  . Man hat also auch hier ganz ähnliche Verhältnisse wie bei den Folgenräumen. Insbesondere sind die Schatten-Klassen für   reflexiv, sie sind sogar gleichmäßig konvex. Wie bei den Folgenräumen ist dies für   nicht der Fall. Die Verhältnisse für   sind im Artikel Spurklasseoperator näher beschrieben.

Lokale Theorie der Schatten-Klassen

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Auch im Rahmen der lokalen Theorie der Banachräume sind zentrale strukturelle Aspekte der endlich-dimensionalen Schatten-Klassen studiert worden; diese Räume sind von Bedeutung etwa im Bereich der Low-Rank matrix recovery, darunter die asymptotischen Volumina ihrer Einheitskugeln[1] sowie Entropiezahlen[2] oder auch s-Zahlen[3][4] für natürliche Einbettungen zwischen diesen Räumen. Darüber hinaus wurde für Einheitskugeln selbstadjungierter Schatten-Klassen für den Fall   die berühmte Variance Conjecture bewiesen.[5]

  • R. Schatten: Norm Ideals of Completely Continuous Operators. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Folge, ISBN 3-540-04806-5.
  • N. Dunford, J. T. Schwartz: Linear Operators, Part II, Spectral Theory. ISBN 0-471-60847-5.
  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8.

Einzelnachweise

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  1. Z. Kabluchko, J. Prochno, C. Thäle: Exact asymptotic volume and volume ratio of Schatten unit balls
  2. A. Hinrichs, J. Prochno, J. Vybíral: Entropy numbers of embeddings of Schatten classes
  3. A. Hinrichs, J. Prochno, J. Vybíral: Gelfand numbers of embeddings of Schatten classes
  4. J. Prochno, M. Strzelecki: Approximation, Gelfand, and Kolmogorov numbers of Schatten class embeddings
  5. B. Dadoun, M. Fradelizi, O. Guédon, P.-A. Zitt: Asymptotics of the Inertia Moments and the Variance Conjecture in Schatten Balls