Satz von den Ergänzungsparallelogrammen

Der Satz von den Ergänzungsparallelogrammen ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie über die Flächeninhalte von Parallelogrammen.

Formulierung des Satzes

Parallelogramm ${\mathcal {P}}=ABCD$
mit Satz von den Ergänzungsparallelogrammen $F_{{\mathcal {P}}_{B}}=F_{{\mathcal {P}}_{D}}$

Der Satz besagt folgendes:

Gegeben sei ein Parallelogramm ${\mathcal {P}}=ABCD$ der euklidischen Ebene und darin sei $d$ eine der beiden Diagonalen, etwa (oBdA) $d=AC$.

Weiter sei $Z$ ein innerer Punkt von $d$.

Durch $Z$ seien die beiden Parallelen zu den Seiten von ${\mathcal {P}}$ gezogen, welche ${\mathcal {P}}$ in vier Teilparallelogramme unterteilen, wobei $Z$ deren alleiniger gemeinsamer Punkt ist.

Dann gilt:

Die beiden Teilparallelogramme, welche von der Diagonalen $d$ nicht zerlegt werden, also mit $d$ allein den Punkt $Z$ gemeinsam haben, sind ergänzungsgleich und daher von identischem Flächeninhalt.

Herleitung und Erläuterung

Die vier Teilparallelogramme von ${\mathcal {P}}$ seien mit ${\mathcal {P}}_{A},{\mathcal {P}}_{B},{\mathcal {P}}_{C},{\mathcal {P}}_{D}$ bezeichnet. Die Indizierung orientiert sich an den Eckpunkten von ${\mathcal {P}}$. Es ist also ${\mathcal {P}}_{X}$ dasjenige Teilparallelogramm, welches den Eckpunkt   $X$   $(X=A,B,C,D)$   enthält. Folglich sind aus Konvexitätsgründen die beiden Teilparallelogramme, welche mit der Diagonalen   $d$   allein den Punkt $Z$ gemeinsam haben, ${\mathcal {P}}_{B}$ und ${\mathcal {P}}_{D}$, während ${\mathcal {P}}_{A}$ und ${\mathcal {P}}_{C}$ diejenigen beiden Teilparallelogramme seien, welche mit $d$ mehr als einen Punkt gemeinsam haben.

$d$   zerlegt nun ${\mathcal {P}}$ in zwei kongruente Dreiecke, nämlich in $ABC$ und $ACD$, und genauso zerlegt   $d$ sowohl ${\mathcal {P}}_{A}$ als auch ${\mathcal {P}}_{C}$ jeweils in zwei kongruente Dreiecke.

Sind hier nun ${\Delta }_{1}$ und ${\Delta }_{2}$ die beiden Zerlegungsdreiecke von ${\mathcal {P}}_{A}$ beziehungsweise ${\Delta }_{3}$ und ${\Delta }_{4}$ die beiden Zerlegungsdreiecke von ${\mathcal {P}}_{C}$ und dabei ${\Delta }_{1}$ und ${\Delta }_{3}$ innerhalb des Dreiecks $ABC$ beziehungsweise ${\Delta }_{2}$ und ${\Delta }_{4}$ innerhalb des Dreiecks $ACD$ gelegen, so wird $ABC$ in die drei Flächenstücke ${\Delta }_{1}$ und ${\Delta }_{3}$ und ${\mathcal {P}}_{B}$ zerlegt und genauso $ACD$ in die drei Flächenstücke ${\Delta }_{2}$ und ${\Delta }_{4}$ und ${\mathcal {P}}_{D}$  .

Folglich ergeben sich hinsichtlich der Flächeninhalte die Identitäten

(I)   $F_{ABC}=F_{ACD}={\frac {F_{ABCD}}{2}}$

(II)   $F_{ABC}=F_{{\Delta }_{1}}+F_{{\Delta }_{3}}+F_{{\mathcal {P}}_{B}}$

(III)   $F_{ACD}=F_{{\Delta }_{2}}+F_{{\Delta }_{4}}+F_{{\mathcal {P}}_{D}}$

und daraus wegen der genannten Kongruenzbeziehungen unmittelbar die Identität

(IV)   $F_{{\mathcal {P}}_{B}}=F_{{\mathcal {P}}_{D}}$ .

Dies bedeutet auch:

${\mathcal {P}}_{B}$   und   ${\mathcal {P}}_{D}$ sind ergänzungsgleich.

Denn durch Hinzufügung endlich vieler paarweise kongruenter Vielecke werden aus ${\mathcal {P}}_{B}$   und   ${\mathcal {P}}_{D}$ zwei kongruente Vielecke erhalten, nämlich die beiden Dreiecke   $ABC$   und   $ACD$

Dies beweist den Satz.

Zur Terminologie

Die beiden Teilparallelogramme ${\mathcal {P}}_{B}$   und   ${\mathcal {P}}_{D}$ werden wegen des in dem Satz dargestellten Sachverhalts Ergänzungsparallelogramme genannt. Damit ist auch der Name des Satzes selbst erklärt.

Literatur

• P. S. Alexandroff, A. I. Markuschewitsch, A. J. Chintschin [Red.]: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band V. Geometrie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 11). Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1971. 
• Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 1. A–E. Aulis Verlag Deubner, Köln 1977, ISBN 3-7614-0242-2. 
• Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Fachlexikon ABC Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt/Main 1978, ISBN 3-87144-336-0. 
• Hugo Fenkner, Karl Holzmüller: Mathematisches Unterrichtswerk. Nach den Richtlinien für die Lehrpläne der höheren Schulen Preußens neu bearbeitet von Karl Holzmüller. 12. Auflage. Geometrie. Ausgabe A in 2 Teilen. I. Teil. Verlag von Otto Salle, Berlin 1926. 
• Johannes Kratz: Geometrie (= Mathematik für Gymnasien. Band 4). 4. Auflage. Bayerischer Schulbuch Verlag, München 1966. 
• Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 1. 15. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965. 
• Harald Scheid (Hrsg.): DUDEN: Rechnen und Mathematik. 4., völlig neu bearbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1985, ISBN 3-411-02423-2.