Satz von Wallace

mathematischer Satz

Der Satz von Wallace ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, welcher auf den amerikanischen Mathematiker Alexander Doniphan Wallace (1905–1985)[1] zurückgeht.[2][3][4] Er behandelt eine spezielle Trennungseigenschaft kompakter Produktunterräume in Produkttopologien: Ein Produkt kompakter Mengen in einer offenen Menge liegt in einem darin enthaltenen Produkt offener Mengen.

Formulierung des Satzes

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Gegeben seien zwei topologische Räume   und   und darin eingelagert zwei kompakte Unterräume   und  . Sei ferner   eine offene Obermenge von   in  .

Dann existieren offene Teilmengen   und   mit  .

Korollar

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Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist normal.[5]

Sind nämlich     und      abgeschlossene, disjunkte Teilmengen des kompakten Hausdorffraums  , so ist     . Da       ein Hausdorffraum ist, ist die Diagonale abgeschlossen, also ist       offen. Wendet man nun obigen Satz von Wallace an, so erhält man zwei offene Mengen      und       mit     , d. h.     . Damit ist       normal.

Literatur

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  • John L. Kelley: General topology (= Graduate Texts in Mathematics. Band 27). Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand. Springer, New York NY u. a. 1975, ISBN 3-540-90125-6.
  • Anthony Connors Shershin: Introduction to topological semigroups. University Presses of Florida, Miami FL 1979, ISBN 0-8130-0664-3.
  • Kapil D. Joshi: Introduction to General Topology. Wiley Eastern, New Delhi u. a. 1983, ISBN 0-85226-444-5.

Einzelnachweise

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  1. Weiteres zur Vita siehe hier.
  2. Kelley: General topology. 1975, S. 142.
  3. Shershin: Introduction to topological semigroups. 1979, S. 23.
  4. Joshi: Introduction to General Topology. 1983, S. 171.
  5. Shershin: Introduction to topological semigroups. 1979, S. 24.