Der Satz von Tverberg (englisch Tverberg’s theorem) ist ein Lehrsatz, der sowohl dem mathematischen Gebiet der Konvexgeometrie als auch dem der topologischen Kombinatorik zuzurechnen ist und der auf eine von dem norwegischen Mathematiker Helge Tverberg im Jahre 1966 vorgelegten Arbeit zurückgeht. Er stellt eine Verallgemeinerung des bekannten Satzes von Radon dar und ist Ausgangspunkt für eine große Anzahl von weiterreichenden Untersuchungen. Mit ihm eng verbunden ist der Satz von Bárány, aus dem der Tverberg'sche Satz hergeleitet werden kann.[1][2][3]

Formulierung des Satzes

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Illustration zu n=2 und r=3. N=7 Punkte gestatten eine Zerlegung der angegebenen Art.

Der Satz besagt:[4][5][6]

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen   und   und dazu die natürliche Zahl  . Weiter gegeben sei im euklidischen Raum   eine Teilmenge  , die aus mindestens   Raumpunkten bestehen soll.
Dann gilt:
Es gibt eine Zerlegung
 
in   paarweise disjunkte Teilmengen   derart, dass in der Schnittmenge
 
der zugehörigen konvexen Hüllen mindestens ein gemeinsamer Raumpunkt liegt.

Anmerkungen

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  • Dem Satz von Tverberg ging eine entsprechende Vermutung des englischen Mathematikers Bryan John Birch voraus, die dieser in einer im Jahr 1959 vorgelegten Arbeit aufstellte.[5]
  • Der Satz ist optimal in dem Sinne, dass die Aussage des Satzes für Teilmengen mit höchstens   Raumpunkten nicht länger Gültigkeit hat.[7]
  • Für   erhält man den Satz von Radon.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry. 1998, S. 68 ff.
  2. Mark Longueville: A Course in Topological Combinatorics. 2013, S. 106 ff.
  3. Jiří Matoušek: Lectures on Discrete Geometry. 2002, S. 200 ff.
  4. W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry. 1998, S. 69.
  5. a b Mark Longueville: A Course in Topological Combinatorics. 2013, S. 106.
  6. Jiří Matoušek: Lectures on Discrete Geometry. 2002, S. 200.
  7. W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry. 1998, S. 70.